MATEMANIJA

Treba mi pomoc oko ovog zadatka, ne znam odakle da pocnem .
"Kružnica prolazi kroz krajnje tačke jedne stranice kvadrata i kroz središte naspramne stranice.
Ako je stranica kvadrata dužine [inlmath]a[/inlmath], onda je prečnik kružnice:"

To bi bila ovakva situacija:


Mislim da slika zaista sve govori. Pitagorina teorema i – rešen zadatak.
Samo, obrati pažnju na to da ti se traži prečnik kružnice, a ne poluprečnik – znači, kad nađeš [inlmath]r[/inlmath], treba da odgovoriš koliko je [inlmath]2r[/inlmath].

Da to je to , hvala. Zbunilo me je to sto su rekli da prolazi kroz srediste, a meni se cini da ona u stvari dodiruje.

Moja greska, da, prolazi.

Verovatno te bunilo to što je u zadatku rečeno da kružnica prolazi kroz središte te stranice kvadrata, a nije rečeno da dodiruje tu stranicu.
To što prolazi kroz središte te stranice, može značiti i da seče, ali i da dodiruje tu stranicu – bitno je samo da sadrži tu središnju tačku stranice.

U ovom slučaju je sasvim lako dokazati da, ako kružnica sadrži središte te naspramne stranice, onda može jedino da dodiruje tu stranicu, ne i da je seče.

Pošto kružnica sadrži dve krajnje tačke jedne stranice kvadrata, to znači da će ta stranica kvadrata biti tetiva te kružnice, što, opet, znači da se centar te kružnice mora nalaziti na simetrali te stranice kvadrata, kao tetive te kružnice.
Simetrala te stranice kvadrata je istovremeno i simetrala naspramne stranice. Pošto se na simetrali naspramne stranice nalazi centar kružnice, a središnja tačka naspramne stranice (koja se takođe nalazi na simetrali) pripada kružnici, sledi da je naspramna stranica tangenta te kružnice, tj. da se kružnica i naspramna stranica dodiruju.