MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 1. jul 2003.
11. zadatak

Ja uopste ne znam kako da ga postavim ovaj zadatak. Jedino sto mi pada na pamet je da visinu trazimo preko extrema kvadratne funkcije. Uopste nemam pojma kako upisati valjak u loptu. Ako moze neka skica sa oznakama i neka ideja kako krenuti?

Visina valjka maksimalne zapremine upisanog u loptu poluprecnika [inlmath]\sqrt3[/inlmath] jednaka je?
[inlmath]A)\;1;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{B)}\;2;\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;2\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;\sqrt3;\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\displaystyle\frac{3}{2}.[/inlmath]

Skica bi izgledala ovako:


Na osnovu te skice možeš poluprečnik osnove valjka [inlmath]r[/inlmath] da izraziš preko visine valjka [inlmath]H[/inlmath]. Tako dobijeni izraz uvrstiš umesto [inlmath]r[/inlmath] u formulu za zapreminu valjka i dobio si formulu za zapreminu valjka izraženu samo preko njegove visine [inlmath]H[/inlmath]. Pošto se traži [inlmath]H[/inlmath] za koje će zapremina valjka biti maksimalna, nađeš prvi izvod zapremine po visini [inlmath]H[/inlmath], izjednačiš ga s nulom i odatle nađeš [inlmath]H[/inlmath]. Kako bi se uverio da je u pitanju maksimum zapremine a ne minimum, nađeš još i drugi izvod zapremine, uvrstiš tako dobijeno [inlmath]H[/inlmath] i, pošto ćeš dobiti negativnu vrednost, znači da jeste u pitanju maksimum, kao što se i traži.

Hvala Daniele. Dobijem [inlmath]P=3\pi H-\frac{\pi H^3}{4}[/inlmath]. Ali probem je u tome sto nisam ucio izvode tek sam treci razred zavrsio. Ja sam mislio da se ovo moze preko kvadratne funkcije njenih extrema ja sam zadatke ovakvog tipa uvijek na taj nacin radio ali nema veze ostavicu ovo za poslije.

Čudno, mi smo izvode radili već u drugom srednje... Vremena se menjaju...
Zadaci ovog tipa se ponekad mogu uraditi preko kvadratne funkcije, onda kad se u izrazu za traženu veličinu dobije kvadratna funkcija. Ali, pošto ti ovde figuriše [inlmath]H^3[/inlmath], u pitanju je ne kvadratna, već kubna funkcija, tako da mora preko izvoda...

Pokusala sam da uradim ovaj zadatak, ali me buni kada treba prvi izvod da se nadje, pa ako moze pomoc

izrazis poluprecnik baze valjka preko visine, i to uvrstis u formulu za zapreminu

kada uvrstis sve to u formulu za zapreminu (imaces samo jednu nepoznatu [inlmath]H[/inlmath]) onda nadjes izvod te funkcije, tj nadjes izvod pa onda odredis ekstrem (nadjes [inlmath]H[/inlmath] za koje ce taj izvod biti jednak nuli) pa onda uradis drugi izvod da provjeris da li je to max ili min...

Šta ti tačno nije jasno? Gore sam već napisao formulu samo je potrebno naći prvi izvod, ispred [inlmath]H[/inlmath] ima konstanta a to možeš a i ne moraš da rastavljaš kao izvod proizvoda. Dobiješ [inlmath]H_\text{max}=2[/inlmath] i [inlmath]H_\text{min}=-2[/inlmath]

Da ne bude neke zabune kada sam napisao [inlmath]\min[/inlmath] i [inlmath]\max[/inlmath] mislio sam da će za tu vrijednost [inlmath]H[/inlmath] dobiti maximalna ili minimalna površina. A ne da je to maksimalna i minimalna visina.

prvo se postave uslovi da [inlmath]H[/inlmath] mora biti pozitivno... mozda je buni to tvoje oznacavanje zapremina kao [inlmath]P[/inlmath] umjesto [inlmath]V[/inlmath]...

i u prethodnom postu si napisao da se trazi povrsina, a trazi se zapremina...

Nisam ni pročitao zadatak Odmah čim sam vidio [inlmath]P[/inlmath] poletio sam na površinu. A zapremina je u pitanju. Greška je treba stavili [inlmath]V[/inlmath] umjesto [inlmath]P[/inlmath].