MATEMANIJA

Zapremina paralelopipeda cije su sve strane rombovi stranice [inlmath]a[/inlmath] i ostrog ugla [inlmath]60^\circ[/inlmath] jednaka je >
[dispmath]\sin 60^\circ=\frac{h}{a}[/dispmath][dispmath]h=\frac{\sqrt{3}a}{2}[/dispmath][dispmath]B=ah=\frac{\sqrt{3}a^2}{2}[/dispmath][dispmath]V=Bh=\frac{3a^3}{4}[/dispmath]
Po mojoj racunici ispadne ovoliko ja mislim da nisam nigdje pogrjesio crtao sam skicu. Ali problem je u tome sto nema ovoga moga u ponudjenim odgovorima
[inlmath]a)\;\frac{a^3}{\sqrt 2}[/inlmath] [inlmath]\quad b)\;\frac{a^3}{6}[/inlmath] [inlmath]\quad c)\;\frac{2a^3}{\sqrt 3}[/inlmath] [inlmath]\quad d)\;\frac{a^3}{4}[/inlmath] [inlmath]\quad e)\;\frac{3a^3}{2}[/inlmath]
Gdje li je greska ?

Površinu osnove [inlmath]B[/inlmath] si ispravno odredio, međutim, da bi dobio zapreminu [inlmath]V[/inlmath], treba površinu osnove da pomnožiš visinom paralelepipeda [inlmath]H[/inlmath], a ne visinom strane [inlmath]h[/inlmath]. To su dve različite visine, vodi o tome računa.

Pa ako su sve stranice rombovi ona je ista visina paralelopipeda i romba tj baze. To je po mome kada povucem normalu dobijem istu visinu. Sada ne znam kako bi ti izracunao visinu paralelopipeda ako moze skica ?

Gamma je napisao:Pa ako su sve stranice rombovi ona je ista visina paralelopipeda i romba tj baze.

Možda tako na prvi pogled izgleda, ali nije.

Da sad ne crtam skicu, imali smo isti takav paralelepiped u ovom zadatku, mada se tamo nije tražila zapremina. Ali, u tom zadatku možeš videti skicu.

Uoči da temena [inlmath]A,B,D,A'[/inlmath] obrazuju pravilan tetraedar stranice [inlmath]a[/inlmath]. Visina paralelepipeda jednaka je visini tog tetraedra.

Mislim da mi je sada jasno,ipak sam ja pogrjesio. Ovo je tetraedar jer su uglovi ostri uglovi [inlmath]60[/inlmath] stepeni i zato imamo 4 istostranicna trougla. Pa visina tetraeda je [inlmath]H=\frac{\sqrt 6}{3}a[/inlmath]. I tek sada mozemo izracunati zapreminu.E i jos jedno pitanje da li se visina nekako mogla drugacije izraziti bez tetraedra?
[dispmath]V=BH[/dispmath][dispmath]V=\frac{\sqrt 3}{2}a^2\cdot\frac{\sqrt 6}{3}a[/dispmath][dispmath]V=\frac{\sqrt{18}}{6}a^3[/dispmath][dispmath]V=\frac{3\sqrt 2}{6}a^3[/dispmath][dispmath]V=\frac{\sqrt 2}{2}a^3[/dispmath][dispmath]V=\frac{a^3}{\sqrt 2}[/dispmath]

Gamma je napisao:E i jos jedno pitanje da li se visina nekako mogla drugacije izraziti bez tetraedra?

S tetraedrom se meni čini najjednostavnije. Ali, možeš i da posmatraš projekciju visine bočne strane na osnovu (na slici je ta projekcija obeležena sa [inlmath]x[/inlmath]). Ta projekcija će pripadati simetrali stranice osnove:


Zbog simetrije, projekcija najviše tačke te visine nalaziće se na simetrali ugla od [inlmath]60^\circ[/inlmath] osnove paralelopipeda, tj. na većoj dijagonali romba u osnovi. Samim tim, to će biti težište jednakostraničnog trougla koji predstavlja polovinu romba. Iz toga sledi da će dužina [inlmath]x[/inlmath] biti jednaka trećini visine jednakostraničnog trougla, tj.
[dispmath]x=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt 3}{2}=\frac{a\sqrt 3}{6}[/dispmath]
Sada, na pravougli trougao čije su katete [inlmath]x[/inlmath] i visina paralelopipeda [inlmath]H[/inlmath], a čija je hipotenuza visina bočne strane paralelopipeda [inlmath]h[/inlmath], primenjujemo Pitagorinu teoremu.
[dispmath]H^2=h^2-x^2=\left(\frac{a\sqrt 3}{2}\right)^2-\left(\frac{a\sqrt 3}{6}\right)^2=\frac{2a^2}{3}\quad\Rightarrow\quad H=a\sqrt{\frac{2}{3}}[/dispmath]
I, kad to pomnožiš površinom osnove [inlmath]B[/inlmath], dobiješ isti rezultat za zapreminu kao i pomoću tetraedra, [inlmath]V=\frac{a^3}{\sqrt 2}[/inlmath].

Radio sam paralelopied u geogebri 3D jasna mi je razlika izmedju visine osnove i paralelopipeda. Mada i ovo sada se svodi na visinu tetraedra tj tako se ona i izvoid. Isto je to.
[dispmath]a\sqrt{\frac{2}{3}}=a\frac{\sqrt 6}{3}[/dispmath]

Daniel je napisao:Uoči da temena [inlmath]A,B,D,A'[/inlmath] obrazuju pravilan tetraedar stranice [inlmath]a[/inlmath]. Visina paralelepipeda jednaka je visini tog tetraedra.

Može ipak skica? Ne izgleda mi to nekako jasno i nikako da uočim tu visinu, pa ne mogu da završim zadatak.

Pa napisao sam, promaklo ti je:

Daniel je napisao:Da sad ne crtam skicu, imali smo isti takav paralelepiped u ovom zadatku, mada se tamo nije tražila zapremina. Ali, u tom zadatku možeš videti skicu.

Jao, jeste, nisam video. Izvinite.