Zaista ne vidim šta fali kosinusnoj teoremi i zbog čega bi pokušavao na drugi način, kad kosinusna teorema daje najbrži put do cilja.
Ali, može se uraditi i preko sinusne teoreme, jeste komplikovanije, ali nije ni to loša vežba.
Obeležimo ugao naspram stranice od [inlmath]14\text{ cm}[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath]. Tada je, prema sinusnoj teoremi,
[dispmath]\frac{10}{\sin45^\circ}=\frac{14}{\sin\alpha}[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{14}{10}\cdot\sin45^\circ[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{7}{5}\cdot\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\alpha=\frac{7\sqrt2}{10}[/dispmath] Pošto je zbir uglova u trouglu jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath], tj. [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/inlmath], sledi da je [inlmath]\gamma=180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)[/inlmath].
[dispmath]\sin\gamma=\sin\left[180^\circ-\left(\alpha+\beta\right)\right]=\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/dispmath]
[dispmath]\sin\alpha=\frac{7\sqrt2}{10}\quad\Longrightarrow\quad\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac{98}{100}}=\pm\frac{\sqrt2}{10}\\
\beta=45^\circ[/dispmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\sin\gamma=\frac{7\sqrt2}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\pm\frac{\sqrt2}{10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{7\pm1}{10}[/dispmath] Dakle, dobili smo dva rešenja za sinus ugla [inlmath]\gamma[/inlmath]. Radi nalaženja stranice [inlmath]c[/inlmath], ponovo primenjujemo sinusnu teoremu:
[dispmath]\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{10}{\sin\beta}[/dispmath][dispmath]c=10\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}[/dispmath][dispmath]c=\cancel{10}\cdot\frac{\frac{7\pm1}{\cancel{10}}}{\frac{\sqrt2}{2}}[/dispmath][dispmath]c=\left(7\pm1\right)\sqrt2[/dispmath][dispmath]c_1=6\sqrt2,\quad c_2=8\sqrt2[/dispmath] Znači, definitivno jednostavnije kosinusnom.