MATEMANIJA

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 12.3.2011. – 1. razred

Neka kruznica sa centrom [inlmath]D[/inlmath] prolazi kroz tjemena [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i centar [inlmath]O[/inlmath] pripisane kruznice trougla [inlmath]ABC[/inlmath], koja dodiruje stranicu [inlmath]BC[/inlmath] i produzetke stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]. Dokazati da tacke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] leze na jednoj kruznici.

Zapravo ne znam kako da pocen tj. kako nacrtati skicu crtao sam ja nesto ali ponovo me zbunjuje par stvari.Nikako ne mogu da je kompletiram. Da li centar [inlmath]D[/inlmath] mora biti na nekoj stranici od trougla? Jer ovo je bitan podatak ovde nista se ne spominje u vezi toga. Kod mene u rjesenju je dokazivano nekako preko uglova a ja to nista ne razumijem i nije mi jasno kako samo ovaj dokaz zavisi od uglova. Tako najbolje bi bilo ako moze neka precizna skica i objasnjenje skice a probacu ovo skontati iz rjesenja.

Gamma je napisao:Da li centar [inlmath]D[/inlmath] mora biti na nekoj stranici od trougla?

U zadatku treba dokazati da se tačka [inlmath]D[/inlmath] nalazi na kružnici opisanoj oko trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]. Ako bi se tačka [inlmath]D[/inlmath] nalazila na nekoj od stranica trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], onda je jasno da ona ne bi mogla pripadati kružnici opisanoj oko tog trougla.

Što se skice tiče, prvo tačku [inlmath]O[/inlmath] označiš u preseku simetrala spoljašnjih uglova kod temena [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath], zbog toga što tačka [inlmath]O[/inlmath] upravo i treba da bude centar kružnice koja dodiruje stranicu [inlmath]BC[/inlmath] i produžetke stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath]:


Samu kružnicu s centrom u tački [inlmath]O[/inlmath] ne bih crtao, da ne bih komplikovao skicu (koja će i bez toga već biti dovoljno komplikovana ).

Tačku [inlmath]D[/inlmath] zatim označiš u preseku simetrala stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BO[/inlmath], budući da tačka [inlmath]D[/inlmath] treba da bude centar kružnice koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]O[/inlmath]:


Ako ne budeš uspeo da rešiš zadatak, možeš ovde okačiti taj postupak koji imaš, pa da ga proanaliziramo.

Nisam znao da se ovako konstrujise centar pripisane kruznice. Ali ponovo i sa skicom mi nije jasno. Kao sto sam vec govorio,zbunjuje me ta cinjenica da ovaj dokaz se svodi samo na uglove. Evo sada cu da postavim rjesenje preko uglova.

Rjesenje:
1) Neka su [inlmath]\alpha,\beta,\gamma[/inlmath] uglovi trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. Tada je [inlmath]\angle BAO=\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i [inlmath]\angle CBO=90^\circ-\frac{\beta}{2}[/inlmath]
(Jer tacka [inlmath]O[/inlmath] lezi na simetrali ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i na simetrali spoljesnjeg ugla u tjemnu [inlmath]B[/inlmath])
[dispmath]\angle AOB=\beta+\angle CBO=90^\circ+\frac{\beta}{2}[/dispmath]
2) Iz trougla [inlmath]AOB[/inlmath] dobijamo da je :
[dispmath]\angle AOB=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\left(90^\circ+\frac{\beta}{2}\right)=90^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}[/dispmath]
3) Sa druge strane je [inlmath]\angle AOB=\frac{\angle ADB}{2}[/inlmath] ( kao periferijski i centralni ugao na kruznici sa centrom [inlmath]D[/inlmath])

4) Dakle [inlmath]\angle ADB=\gamma[/inlmath] ,tj. [inlmath]\angle ADB=\angle ACB[/inlmath] , sto znaci da tacke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] leze na jednoj kruznici.

Zna'l ko ?

Prvo, rules.php#f0r15

Drugo, što se tiče skice. Nisam ni ja nikad ranije čuo za pojam pripisana kružnica, ali je u tekstu zadatka tačno objašnjeno šta taj pojam znači. Na sledećoj skici je pripisana kružnica označena plavom bojom:


– Pošto pripisana kružnica treba da dodiruje produžetke stranica [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]AC[/inlmath], to znači da je njen centar podjednako udaljen od produžetka stranice [inlmath]AB[/inlmath] i od produžetka stranice [inlmath]AC[/inlmath], tj. njen centar se mora nalaziti na simetrali unutrašnjeg ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath].
– Pošto pripisana kružnica treba da dodiruje stranicu [inlmath]BC[/inlmath] sa spoljnje strane i produžetak stranice [inlmath]AB[/inlmath], to znači da je njen centar podjednako udaljen od stranice [inlmath]BC[/inlmath] i od produžetka stranice [inlmath]AB[/inlmath], tj. njen centar se mora nalaziti na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena [inlmath]B[/inlmath].
– Pošto pripisana kružnica treba da dodiruje stranicu [inlmath]BC[/inlmath] sa spoljnje strane i produžetak stranice [inlmath]AC[/inlmath], to znači da je njen centar podjednako udaljen od stranice [inlmath]BC[/inlmath] i od produžetka stranice [inlmath]AC[/inlmath], tj. njen centar se mora nalaziti na simetrali spoljašnjeg ugla kod temena [inlmath]C[/inlmath].

E sad, što se tiče rešenja koje si priložio, tu je sve prilično dobro objašnjeno, možeš li da preciriraš koji ti tačno deo nije jasan pa da ga dodatno pojasnimo?
Jedino sam ovde našao grešku,

Gamma je napisao:[dispmath]\angle{\color{red}AOB}=\beta+\angle CBO=90^\circ+\frac{\beta}{2}[/dispmath]

Ne treba [inlmath]\angle AOB[/inlmath], već [inlmath]\angle ABO[/inlmath]. Možda te to zbunilo?

Izvini bio sam malo nestrpljiv jer mi samo ovaj zadatak fali da kompletiram test. Odmah sam vidio da nesto ne stima sa tim uglom. Jos me samo zbunjuje ova cinjenica [inlmath]\angle ADB=\angle ACB[/inlmath]. To bi trebalo ici nekako da su uglovi nad jednom tetivom jednaki,ali onda treba jos jedna kruznica ? Kako ?

Ovo bi, dakle, bila skica koja odgovara tom zadatku:


Znači, jasno ti je kako je pokazano da je [inlmath]\angle AOB=\frac{\gamma}{2}[/inlmath], kao i da je [inlmath]\angle AOB=\frac{\angle ADB}{2}[/inlmath]?

E, onda, pošto su leve strane u ove dve jednakosti jednake, [inlmath]\angle AOB[/inlmath], moraju biti jednake i njihove desne strane, tj.
[dispmath]\frac{\gamma}{\cancel 2}=\frac{\angle ADB}{\cancel 2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\gamma=\angle ADB[/dispmath]
što znači da će na sledećoj slici uglovi obeleženi žuto biti jednaki:


a pošto su to uglovi nad istom duži, nad duži [inlmath]AB[/inlmath], to znači da mora postojati kružnica čiji će to biti periferni uglovi (budući da su ti uglovi jednaki), a koja sadrži tetivu [inlmath]AB[/inlmath]. Ta kružnica je na sledećoj slici obeležena crveno:


čime je dokazano da postoji kružnica koja sadrži tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath].

Tek sada mogu reci da mi je jasno