MATEMANIJA

Imam jos jedan zadatak sa rjesenjem koji takodjer nema sanse da skontam. Tacnije meni ovde nije jasna nejednakost trougla.Prvi put cujem za to.Da nema to nekakve veze sa nejednakostima brojnih sredina?Jer ni jedan zadatak sa tim ne razumijem.Izvinjavam se ako sam za malo vremena previse tema otvorio. Radim to jer mi treba do ponedjeljka i osatlo mi je jos par zadataka.Ne moram sve uraditi ali bolje je da sto vise uradim.Inace sve zadatke sa nejednakostima izmedju brojnih sredina preskacem.To mi se cini veoma kompikovanim,a kako dijete od 13 god uradi ovo ja ne znam.Pa sta vi kazete za ovo? Mada ja necu da se komlikovanim zadacima opterecujem puno ali eto malo samo nek znam sta je u pitanju,ne moram ga razumjeti.

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 1. razred

Data je prava [inlmath]p[/inlmath] i dvije tacke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] sa iste strane te prave.Odrediti na pravoj [inlmath]p[/inlmath] tacku [inlmath]D[/inlmath] takvu da zbir rastojanja od [inlmath]A[/inlmath] do [inlmath]D[/inlmath] i od [inlmath]B[/inlmath] do [inlmath]D[/inlmath] bude najmanji.

Kada mi kaze najveci ili najmanji odmah me asocira na extreme kvadratne funkcije, ali na zalost toga ovde nema a i ovaj zadatak je svakako namjenjen za prvi razred.

Rjesenje:

1) Neka je [inlmath]B'[/inlmath] tacka simeticna tacki [inlmath]B[/inlmath] u odnosu na pravu [inlmath]p[/inlmath] i na je [inlmath]D[/inlmath] presjecna tacka duzi [inlmath]AB'[/inlmath] sa pravom [inlmath]p[/inlmath].

2) Neka je [inlmath]X\ne D[/inlmath] proizvoljna tacka prave [inlmath]p[/inlmath]. Na osnovu osobine osne simetrije je [inlmath]XB=XB'[/inlmath] i [inlmath]DB=DB'[/inlmath]

3) Na osnovu nejednakosti trougla [inlmath]AXB'[/inlmath] je [inlmath]AX+XB'>AB'[/inlmath]

4) Tada je [inlmath]D[/inlmath] trazena tacka,posto za proizvoljnu tacku [inlmath]X[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] takvu da je [inlmath]X\ne D[/inlmath] , vazi:
[dispmath]AX+XB=AX+XB'>AB'=AD+DB'=AD+BD[/dispmath]

Nejednakost trougla kaze da za trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] vazi:
[dispmath]\left|\overline{AC}-\overline{CB}\right|<\overline{AB}<\overline{AC}+\overline{CB}[/dispmath]
Ovde je iskoriscen ovaj drugi deo nejednakosti... Cak i da ti nije poznata, ovo je sve prilicno intuitivno – ako se kreces od tacke [inlmath]A[/inlmath] do tacke [inlmath]B'[/inlmath] pravolinijski sigurno prelazis manji put nego kada iz [inlmath]A[/inlmath] prvo odes do tacke [inlmath]X[/inlmath] (izvan pravca duzi [inlmath]\overline{AB'}[/inlmath]) pa iz nje do tacke [inlmath]B'[/inlmath].

Otuda je [inlmath]AX+XB'>AB'[/inlmath].

Znaci,kazes sve je intuitivno(opaza se). Tako da ova nejednakost trougla nema veze sa ovim nejednakostima sredina?Objasnio si mi ovo ,pa mi sada i ne izgleda toliko komplikovano. Samo malo logike. Pokusavao sam ja raditio ovo i ranije ali kad god na gogle-u ukucam nejednakost trougla uvijek mi izbaci nesto povezano sa nejednakostima brojnih sredina.

Verovatno misliš na nejednakost
[dispmath]\left|z_1+z_2+\cdots +z_n\right|\le\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots +\left|z_n\right|[/dispmath]
koja se takođe naziva nejednakost trougla i može se posmatrati kao uopštenje ove formule koja se odnosi na stranice trougla. Ne boj se, ovakav opšti oblik tebi za zadatke u geometriji nije potreban. Inače, u posebnom slučaju za [inlmath]n=2[/inlmath], pomenuta nejednakost bi se svela na [inlmath]\left|z_1+z_2\right|\le\left|z_1\right|+\left|z_2\right|[/inlmath] i, posmatrano u kompleksnoj ravni u kojoj se kompleksni brojevi predstavljaju geometrijski, zaista bi predstavljala nejednakost samih stranica trougla, isto kao i u geometriji.

Da mislio sam tu tu formulu,ali dobro je da mi nece biti potrebna. Jer je ovo i ovako zakomplikovano jos mi samo ona fali.