MATEMANIJA

Ova dva sam isto pokusavao da uradim ali mi nije islo.
1) Romb cije su dijagonale [inlmath]3\mbox{ dm}[/inlmath] i [inlmath]4\mbox{ dm}[/inlmath] rotira oko visine koja sadrzi srediste romba,Izracunati zapreminu dobijenog tela.
Ja mislim da je zapremina jednaka jednaka 2x zapremina zarubljenje kupe ako sam dobro sliku nacrtao.Ali ne mogu da dobijem poluprecike koje su mu potrebni.
2) Stranice pravougaonika su [inlmath]20[/inlmath] i [inlmath]15[/inlmath].Izracunati povrsinu tela koje nastaje pri rotaciji pravougaonika oko jedne svoje dijagonale.

Molim te da se upoznaš s Pravilnikom foruma. U njemu je (tačka 9.) upravo naziv koji si ti dao ovoj temi („Geometrija“) naveden kao primer naziva kakve ne treba davati temama. Prepravio sam naziv ove teme. Naravno, podrazumeva se da treba da pročitaš i ostale tačke Pravilnika.

Za prvi zadatak skica bi izgledala ovako:


Dobro si rekao, obrtno telo će biti sastavljeno od dve zarubljene kupe. Prava koja je na slici obojena plavo predstavlja osu rotacije (visina koja prolazi kroz centar romba), a prava koja je na slici obojena zeleno pripada ravni koja predstavlja granicu između te dve zarubljene kupe. Gornja zarubljena kupa imaće poluprečnik gornje osnove [inlmath]CM[/inlmath] i poluprečnik donje osnove [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath], dok će donja zarubljena kupa imati poluprečnik gornje osnove [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] i poluprečnik donje osnove [inlmath]AN[/inlmath]. Naravno, [inlmath]AN=CM[/inlmath].

Pretpostavljam da ti nije problem da nađeš stranicu [inlmath]a[/inlmath] romba (Pitagorina teorema primenjena na bilo koji od trouglova [inlmath]\triangle AOB[/inlmath], [inlmath]\triangle BOC[/inlmath], [inlmath]\triangle COD[/inlmath] ili [inlmath]\triangle DOA[/inlmath]).
[inlmath]CM[/inlmath] nađeš tako što uočiš sličnost trouglova [inlmath]\triangle COD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CMO[/inlmath]. Pošto u trouglu [inlmath]\triangle COD[/inlmath] znaš sve stranice, pa samim tim i njihove odnose, a u trouglu [inlmath]\triangle CMO[/inlmath] znaš jednu stranicu, [inlmath]CO[/inlmath], možeš odrediti i njegove stranice [inlmath]CM[/inlmath] i [inlmath]MO[/inlmath] (ova druga ti je isto potrebna, jer predstavlja visinu kako gornje, tako i donje zarubljene kupe). Kad si našao [inlmath]CM[/inlmath], time si, kao što rekoh, našao i [inlmath]AN[/inlmath], jer je [inlmath]AN=CM[/inlmath].

---

Možda bi sad umeo da uradiš i drugi zadatak? Imaš li za njega ideju? Jesi li nacrtao skicu i uočio od kojih će se geometrijskih figura sastojati dobijeno obrtno telo?

Pa mislim da ce dobijeno telo da se sastoji iz dve zarubljene kupe i dve obicne kupe,ali ako mozes da mi nacrtas skicu jer nisam siguran dal je ovo tacno.

Tako je, dve zarubljene i dve obične kupe:


Isto kao i u prethodnom zadatku, koristi se Pitagorina teorema i sličnost odgovarajućih trouglova.

Da li se mozda dobije [inlmath]r_1=12[/inlmath], a [inlmath]r_2=\frac{75}{8}[/inlmath]

Daniel je napisao:Tako je, dve zarubljene i dve obične kupe:

pravougaonik.png

Isto kao i u prethodnom zadatku, koristi se Pitagorina teorema i sličnost odgovarajućih trouglova.

Povrsina ovog tela je [dispmath]\frac{20781}{16}[/dispmath] ili [dispmath]1298,8125[/dispmath]

Da, poluprecnik obe kupe je [inlmath]12[/inlmath], a visina [inlmath]9[/inlmath]. Za zarubljene kupe je veci poluprecnik [inlmath]12[/inlmath], manji [inlmath]\frac{75}{8}[/inlmath], a visina [inlmath]3,5[/inlmath]. Zbir povrsina svih omotaca ovih tela jednak je ukupnoj povrsini... Ostalo je samo zamena ovih vrednosti u formule.

Meni je poluprecnik kupe [inlmath]12[/inlmath] a poluprenick zarubljene kupe [inlmath]\frac{75}{8}[/inlmath]. Tako da mu to isto dodje

@denixue, molim te da ne citiraš celu prethodnu poruku, jer za time nema potrebe. Već nekoliko takvih postova sam ti korigovao. Pravilnik, tačka 15.
Nisam računao koliko treba da se dobije za površinu celog tela, ali za ovo rešenje,

denixue je napisao:Povrsina ovog tela je [dispmath]\frac{20781}{16}[/dispmath] ili [dispmath]1298,8125[/dispmath]

odmah možeš videti da ne valja, jer u konačnom rešenju mora figurisati [inlmath]\pi[/inlmath].

Zaboravoi sam da napisem [inlmath]\pi[/inlmath], a i uvideo sam gresku samo omotaci se sabiraju, nesvesno sam izracunao sve i sabrao.

Tek sam sada pogledao ovu temu. Vidim za prvi zadatak niko nije dao konačno rješenje. Ja sam nešto radio ali nisam siguran je li to ispravno.

Preko pitagorine teoreme dobijemo [inlmath]a=\frac{5}{2}\mbox{dm}[/inlmath]
Kako je mali poluprečnik [inlmath]r_1=\frac{a}{2}[/inlmath] dobije se [inlmath]r_1=\frac{5}{4}\mbox{dm}[/inlmath]
Preko sličnosti trouglova koju je Daniel spominjao dobijem [inlmath]r_2=\frac{8}{5}\mbox{dm}[/inlmath]
Isto preko sličnosti dobijem i visinu [inlmath]\overline{ON}=\frac{6}{5}\mbox{dm}[/inlmath]
[inlmath]\overline{ON}=\overline{OM}[/inlmath]
Na osnovu ovih podataka treba da izračunamo zapremniu zarubljenje kupe. Koliko ja znam jedini način da se izračuna zapremina zarubljene kupe je da se oduzme zapremina male od zapremine velike kupe.Postoji li jos neki brži način?
[inlmath]V_1=\frac{256}{125}\pi\mbox{ dm}^3[/inlmath] za visinu uzimam [inlmath]H_1=\overline{ON}+\overline{OM}[/inlmath]
[inlmath]V_2=\frac{5}{8}\pi\mbox{ dm}^3[/inlmath]
Treba da oduzmem [inlmath]V=V_1-V_2[/inlmath] i na kraju jer je to jedna zarubljena kupa a mi imamo dvije samo taj rezultat pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath]. Mislim da ima negdje geška jer kao rješenje ne dobijemo neki liep broj.

Pa ako neko može da pregleda i ukaže na greške.

Imaš grešku, pri računanju zapremine veće i manje kupe. Uzeo si da je visina veće kupe jednaka [inlmath]H_1=\overline{ON}+\overline{OM}[/inlmath] a da je visina manje kupe jednaka [inlmath]H_2=\overline{ON}[/inlmath], ali nijedno ni drugo nije tačno.
Postoji gotova formula za zapreminu zarubljene kupe, koja glasi
[dispmath]V_{ZK}=\frac{\pi H}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)[/dispmath]
gde su [inlmath]r_1[/inlmath] i [inlmath]r_2[/inlmath] poluprečnici veće i manje osnove, a [inlmath]H[/inlmath] visina te zarubljene kupe.

Nije mi to jasno, kako te duži nisu visine kupe? Na mojoj skici ispada da jesu.Aj ako ti nije problem nacrtaj neku preciznijku skicu.Mi smo u školi uvijek računali zapreminu zarubljenje kupe preko razlike zapremina veće i manje kupe. Nisam znao za ovu formulu.Kako se izvodi ova formula? Daj mi upute pa ja ću pokušati da je izvedem. Ja sam probavao na onaj fazon preko razlike zapremina veće i manje kupe ali nije mi se dalo.

Nacrtao sam skicu u drugom po redu postu ove teme, iz koje se može jasno videti da, kad bi izvodnicu zarubljene kupe produžio do njenog preseka s uzdužnom osom kupe, dobio bi time onu veću kupu koja sadrži zarubljenu i manju kupu i sa slike bi bilo prilično očigledno da visina te veće kupe nije [inlmath]\overline{ON}+\overline{OM}[/inlmath], nego je veća. Moglo bi se, preko tangensa dvostrukog ugla, i izračunati kolika bi tačno bila visina te veće kupe i dobilo bi se da je ona [inlmath]\frac{192}{35}[/inlmath]. To prepuštam tebi da pokušaš.

Ako na tvojoj skici ispada da je [inlmath]H_1=\overline{ON}+\overline{OM}[/inlmath], odnosno da je [inlmath]H_2=\overline{ON}[/inlmath], verovatno ti je skica neprecizna, tj. poklapa se s nekim specijalnim slučajem u kojem to, sasvim slučajno, važi. Ako hoćeš da to prokomentarišemo, možeš priložiti svoju skicu. U svakom slučaju, upravo zbog te mogućnosti da na nacrtanoj skici imaš neki od specijalnih slučajeva, koji ne važe uvek, ne smeš dokaze izvoditi na osnovu onog što vidiš, već na osnovu tačno utvrđenih definicija i teorema.

Do formule za zapreminu zarubljene kupe koju sam napisao dolaziš upravo preko razlike zapremina veće i manje kupe, pri čemu visinu veće kupe napišeš kao [inlmath]H+x[/inlmath], gde je [inlmath]H[/inlmath] visina zarubljene kupe a [inlmath]x[/inlmath] visina manje kupe koja bi je upotpunila do kupe. U toku sređivanja izraza, iskoristiš to da iz sličnosti trouglova sledi [inlmath]\frac{r_1}{r_2}=\frac{H+x}{x}[/inlmath], uvrstiš to, i posle malo sređivanja ćeš dobiti traženi izraz za zapreminu zarubljene kupe.

Upravo radim zadatak i izvodim ovu formlu. Mislio sam na 3D skicu. Jasno mi je sada gdje sam pogrješio na mojoj skici. U kojeme si programu ovo radio(mislim na ovu drugu žutu)?Ja inače radim u geogebri i 2D i 3D ali koliko ja znam ne posotji opcija rotacije u geogebri da se napravi geometrijsko tjelo već samo da se rotira tjelo za određeni ugao oko prave ili tačke.Mana geogebre je što sve moram da ucrtavam preko kordinata i u naprijed proračunavam.Najviše sam je koristio zbog analitičke geometrije. Pa to mi svakako oduzima dosta vremena.Još ne znam gdje bih mogao napraviti neku finu skicu da to još malo rastumačim.Kada je crtam na papriu olovkom ima dosta linija viška pa se i ne da tako lako pročitati.

Da se korigujem, ne postoji nijedan specijalan slučaj u kojem je moguće da veća kupa (do koje se dopunjuje posmatrana zarubljena kupa) ima visinu [inlmath]H_1=\overline{ON}+\overline{OM}[/inlmath]. Bar ne kad je u pitanju romb koji rotira kao u ovom zadatku. Da umesto romba imamo npr. romboid, onda bi takav specijalan slučaj bio moguć.

Ne znam ni ja ni za kakav program (bar ne matematički) koji crta rotacije tela, ja to crtam ručno. Evo ti 3D-skica za ovaj zadatak, mada bi trebalo i iz obične 2D-skice da možeš da stekneš predstavu kako to izgleda kad rotira...

Pregledao sam ovaj zadatak detaljno i opet me skica zbunjuje.Po čemu si zaključio da tačka [inlmath]O[/inlmath] zelenu pravu djeli na dva dijela po [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]. Ja sam tu nešto docrtavo preko translacije ,translatiram duž [inlmath]\overline{BC}[/inlmath] da prolazi korz tačku [inlmath]O[/inlmath] i onda isto translatiram duž [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] do tačke [inlmath]O[/inlmath] i na osnovu toga zaključim . Ne znam koliko je to sada pravilno. A što se tiče proračuna i izvođenja one formule tu mi je sve jasno,nema šta.Ja ne znam ni jedan drugi način da odredim visinu velike kupe sem da odredim [inlmath]x=\frac{r_2H}{r_1-r_2}[/inlmath] i dodam [inlmath]H[/inlmath] (visinu zarubljenje kupe) i dobijem visinu velike kupe. To je neki moj način.Kada uvrstim u formulu za zapreminu zarubljenje kupe sve podatke opet se dobije neki neobičan broj ali nema veze valjda je sada dobro.
[dispmath]V=\frac{\pi H}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)[/dispmath][dispmath]V=\frac{\pi\frac{6}{5}}{3}\left(\left(\frac{8}{5}\right)^2+\frac{8}{\cancel 5}\frac{\cancel 5}{4}+\left(\frac{5}{4}\right)^2\right)[/dispmath][dispmath]V_u=\frac{12\pi}{15}\left(\frac{64}{25}+2+\frac{25}{16}\right)\mbox{ dm}^3[/dispmath]

Evo uradio sam i drugi zadatak.Rješenje mi se ne poklapa sa onim kao što je denixue napiso.Milovane koliko ja vidim visine nisu ni potrebne.
Ja sam radio ovako:
[inlmath]d=25[/inlmath] dijagonala
[inlmath]r_1=12[/inlmath] poluprečnik velike kupe
[inlmath]r_2=\frac{75}{8}[/inlmath] poluprečnik zarubljene kupe
[inlmath]s=\frac{35}{8}[/inlmath] izvodnica zarubljene kupe
[inlmath]P_1=r_1\pi b=12\cdot 15\cdot\pi=180\pi[/inlmath] površina omotača velike kupe (možda sam trebao da označim sa [inlmath]M[/inlmath] ali stavio sam namjerno [inlmath]P[/inlmath] da ne bude neke zabune)
[inlmath]P_2=(r_1+r_2)\pi s=\frac{5985}{64}\pi[/inlmath] površina omotača zarubljene kupe
[dispmath]P_u=2P_1+2P_2[/dispmath][dispmath]P_u=360\pi+\frac{5985}{32}\pi[/dispmath]
(nekih kvadratnih mjernih jedinica)

1. zadatak

Gamma je napisao:Po čemu si zaključio da tačka [inlmath]O[/inlmath] zelenu pravu djeli na dva dijela po [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]. Ja sam tu nešto docrtavo preko translacije ,translatiram duž [inlmath]\overline{BC}[/inlmath] da prolazi korz tačku [inlmath]O[/inlmath] i onda isto translatiram duž [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] do tačke [inlmath]O[/inlmath] i na osnovu toga zaključim .

Ne uspevam da ispratim ovaj tvoj postupak. Duž [inlmath]\overline{BC}[/inlmath] možeš na bezbroj načina translirati tako da prolazi korz tačku [inlmath]O[/inlmath]. Možeš je translirati tako da se tačka [inlmath]B[/inlmath] poklopi s tačkom [inlmath]O[/inlmath], možeš je translirati tako da se tačka [inlmath]C[/inlmath] poklopi s tačkom [inlmath]O[/inlmath], možeš je translirati tako da se središte duži [inlmath]BC[/inlmath] poklopi s tačkom [inlmath]O[/inlmath] itd. itd. Već sam te zamolio da se izražavaš precizno. A i ne vidim zbog čega nepotrebno komplikuješ. Ako je u zadatku lepo rečeno:

gliga97 je napisao:Romb cije su dijagonale [inlmath]3\mbox{ dm}[/inlmath] i [inlmath]4\mbox{ dm}[/inlmath] rotira oko visine koja sadrzi srediste romba,Izracunati zapreminu dobijenog tela.

onda, pošto ta visina sadrži središte romba, na osnovu simetrije zaključujemo i to da će „zelena duž“ biti podeljena visinom romba (tj. središtem romba) na dva jednaka dela. Pošto je dužina te duži jednaka stranici romba [inlmath]a[/inlmath], to će ona biti podeljena na delove dužina [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath].

Gamma je napisao:A što se tiče proračuna i izvođenja one formule tu mi je sve jasno,nema šta.Ja ne znam ni jedan drugi način da odredim visinu velike kupe sem da odredim [inlmath]x=\frac{r_2H}{r_1-r_2}[/inlmath] i dodam [inlmath]H[/inlmath] (visinu zarubljenje kupe) i dobijem visinu velike kupe.

Nema potrebe da računaš visinu velike kupe. Napišeš, jednostavno,
[dispmath]V_{ZK}=V_1-V_2=\frac{1}{3}\pi r_1^2\left(H+x\right)-\frac{1}{3}\pi r_2^2x=\frac{\pi}{3}\left[r_1^2\left(H+x\right)-r_2^2x\right]=\frac{\pi}{3}\left[r_1^2H+\left(r_1^2-r_2^2\right)x\right][/dispmath]
i onda iz [inlmath]\frac{r_1}{r_2}=\frac{H+x}{x}[/inlmath] izvedeš to [inlmath]x=\frac{r_2H}{r_1-r_2}[/inlmath] kao što si več i uradio, pa to uvrstiš umesto [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]V_{ZK}=\frac{\pi}{3}\left[r_1^2H+\left(r_1^2-r_2^2\right)\frac{r_2H}{r_1-r_2}\right]=\frac{\pi}{3}\left[r_1^2H+\left(r_1+r_2\right)\cancel{\left(r_1-r_2\right)}\frac{r_2H}{\cancel{r_1-r_2}}\right]=\\
=\frac{\pi H}{3}\left[r_1^2+\left(r_1+r_2\right)\cdot r_2\right]=\frac{\pi H}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)[/dispmath]

Gamma je napisao:Kada uvrstim u formulu za zapreminu zarubljenje kupe sve podatke opet se dobije neki neobičan broj ali nema veze valjda je sada dobro.
[dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]V_u=\frac{12\pi}{15}\left(\frac{64}{25}+2+\frac{25}{16}\right)\mbox{ dm}^3[/dispmath]

To je OK, s tim da u razlomku [inlmath]\frac{12\pi}{15}[/inlmath], naravno, skratiš brojilac i imenilac, a izraz u zagradi sračunaš i dobiješ [inlmath]\frac{2449}{400}[/inlmath]. I onda je konačno (sređeno) rešenje
[dispmath]V_u=\frac{2449}{500}\pi\mbox{ dm}^3[/dispmath]

---

2. zadatak

Gamma je napisao:Rješenje mi se ne poklapa sa onim kao što je denixue napiso.

Rešenje ti je tačno, ali ti se ne poklapa s denixuovim, jer je i sâm denixue napisao da njegovo rešenje ne valja zbog toga što je greškom sabirao i površine osnova i površine omotača, umesto da sabira samo površine omotača.

Gamma je napisao:Milovane koliko ja vidim visine nisu ni potrebne.

Pošto se Milovan ne oglašava, pretpostavljam da mi neće zameriti što ću ja odgovoriti na pitanje upućeno njemu. Visine nisu potrebne za izračunavanje samih površina omotača, ali su potrebne da bi pomoću njih, na osnovu sličnosti trouglova, odredio izvodnicu zarubljene kupe, koja ti, opet, jeste potrebna za izračunavanje površine omotača iste.

Gamma je napisao:[inlmath]r_1=12[/inlmath] poluprečnik velike kupe
[inlmath]r_2=\frac{75}{8}[/inlmath] poluprečnik zarubljene kupe

Haj'mo da se izražavamo precizno – kupa i zarubljena kupa nemaju poluprečnike. Poluprečnike imaju njihove osnove. Dakle,
[inlmath]r_1=12[/inlmath] poluprečnik osnove velike kupe
[inlmath]r_2=\frac{75}{8}[/inlmath] poluprečnik manje osnove zarubljene kupe

Konačno uradio sam ova dva zadatka ispravno.Što se translacije tiče mislio sam tako da se središte duži [inlmath]\overline{BC}[/inlmath] poklopi s tačkom [inlmath]O[/inlmath].