MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 2. jul 2013.
16. zadatak

U loptu poluprecnika [inlmath]R[/inlmath] upisan je valjak cija je visina jednaka precniku osnove. Kolika je zapremina valjka?
Odgovor kaze [inlmath]\displaystyle\pi R^3\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath].

Nikako da dodjem do rjesenja... napisao sam zapreminu valjka koja je [inlmath]V=B\cdot H[/inlmath] i izjednacim [inlmath]H[/inlmath] sa [inlmath]R[/inlmath] (jer tako zadatak kaze) i dobijem da mi je [inlmath]V=R^2\pi\cdot2R\;\Longrightarrow\;V=3R^3\pi[/inlmath]. Ima li iko rjesenje?

[dispmath]V_v=r_v^2\pi H_v[/dispmath] Posto je [inlmath]H_v=2r_v[/inlmath] odatle sledi da dijagonala valjka moze da se dobije preko Pitagorine teoreme: [inlmath]D^2=H_v^2+R_v^2[/inlmath]
[dispmath]D^2=H_v^2+H_v^2[/dispmath] odnosno
[dispmath]D^2=2H_v^2\\
D=H_v\sqrt2[/dispmath] A, posto je dijagonala valjka jednaka precniku lopte odatle sledi
[dispmath]2r_l=H_v\sqrt2\\
H_v=r_l\sqrt2[/dispmath] i
[dispmath]r_v=\frac{r_l\sqrt2}{2}[/dispmath] Kada ubacimo dobijenu visinu i poluprecnik u formulu za zapreminu, dobijamo resenje koje si napisao.
Ti si pogresio misleci da je [inlmath]R[/inlmath] koje je dato u zadatku poluprecnik valjka, a zapravo je dat poluprecnik lopte. Ja malim slovom [inlmath]r[/inlmath] oznacavam poluprecnike, a velikim precnike, da se ne zbunis.

Hvala mnogo na rjesenju