Poliedar
Poslato: Ponedeljak, 26. Januar 2015, 02:42Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2013. – 4. razred
Što se tiče poliedra radili smo nešto malo o pravilnim poliedrima.Koliko ja znam poliedar je konveksan ako za svake dvije proizvoljne tačke na njemu postoji duž koja ih spaja i nalazi se unutar tog poliedra. Ili ako se sve dijagonale nalaze unutar njega.Znam da su Plantonova tjela tetraedar,heksaedar,iksoedar itd..Nikada se nisam susreo s regularnim nekonveksnim poliedrima. Ako može neki primjer.Ono što sam ja uspio zaključiti u vezi nekonveksni poliedara je to da oni nisu sastavljeni iz pravilnih i podudarnih mnogouglova.Koliko vidim u ovome zadatku postoji slučaj u kojeme kaže da postoji konveksan poliedar kod kojega sve stanice nisu pravilni i podudarni mnogouglovi. U ovome zadatku samo me jedna stvar zbunjuje. Logično je da broj ivica od bilo koje te strane mora biti tri najmanje.Nije mi jasno kako broj ivica neke stranice ne može biti veći od broja stranica poliedra. Tačnije rečeno nije mi jasna veza između ivica i susjednih strana.
Zadatak:
U svakome konveksnome poliedru uvijek postoje dvije strane sa jednakim brojem ivica. Dokazati!
Rješenje:
Neka je strana [inlmath]ABCDEF...[/inlmath] sa najvećim brojem ivica i neka ih ima [inlmath]n[/inlmath]. Ona ima [inlmath]n[/inlmath] susjednih strana.Broj ivica svake od tih [inlmath]n[/inlmath] strana pripada skupu [inlmath]S=(3,4,\ldots,n-1,n)[/inlmath]. Na osnovu Dirihleovog principa slijedi da neke dvije od njih imaju isti broj ivica čime je tvrđenje dokazano.
Što se tiče poliedra radili smo nešto malo o pravilnim poliedrima.Koliko ja znam poliedar je konveksan ako za svake dvije proizvoljne tačke na njemu postoji duž koja ih spaja i nalazi se unutar tog poliedra. Ili ako se sve dijagonale nalaze unutar njega.Znam da su Plantonova tjela tetraedar,heksaedar,iksoedar itd..Nikada se nisam susreo s regularnim nekonveksnim poliedrima. Ako može neki primjer.Ono što sam ja uspio zaključiti u vezi nekonveksni poliedara je to da oni nisu sastavljeni iz pravilnih i podudarnih mnogouglova.Koliko vidim u ovome zadatku postoji slučaj u kojeme kaže da postoji konveksan poliedar kod kojega sve stanice nisu pravilni i podudarni mnogouglovi. U ovome zadatku samo me jedna stvar zbunjuje. Logično je da broj ivica od bilo koje te strane mora biti tri najmanje.Nije mi jasno kako broj ivica neke stranice ne može biti veći od broja stranica poliedra. Tačnije rečeno nije mi jasna veza između ivica i susjednih strana.
Zadatak:
U svakome konveksnome poliedru uvijek postoje dvije strane sa jednakim brojem ivica. Dokazati!
Rješenje:
Neka je strana [inlmath]ABCDEF...[/inlmath] sa najvećim brojem ivica i neka ih ima [inlmath]n[/inlmath]. Ona ima [inlmath]n[/inlmath] susjednih strana.Broj ivica svake od tih [inlmath]n[/inlmath] strana pripada skupu [inlmath]S=(3,4,\ldots,n-1,n)[/inlmath]. Na osnovu Dirihleovog principa slijedi da neke dvije od njih imaju isti broj ivica čime je tvrđenje dokazano.