MATEMANIJA

u trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] ugao [inlmath]\gamma=120^\circ[/inlmath] stepeni, dokazati da je [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\longrightarrow\alpha+\beta=60^\circ[/inlmath]
[dispmath]c\ge\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)[/dispmath]
pokusao sam raditi preko sinusne teoreme... tj znam da je zbir ova dva druga ugla [inlmath]=60^\circ[/inlmath]... uspijem izdvojiti stranicu [inlmath]c[/inlmath] ispred zagrade, a dobijem da je:

[inlmath]c>c\cdot\big(\sin(\alpha)+\sin(60^\circ-\alpha)\big)[/inlmath] sada bi ova zagrada trebala biti manja od jedan ali kako god uradim dodjem do te situacije da nzm sta dalje da transformisem... isto tako sam i pokusao preko kosinusne teoreme, jer nejednacini mogu kvadrirati obije strane jer su uvijek pozitivne, mislim da bi se u oba ova slucaja trebalo doci da tacnog rijesenje, jednostavno je broblem moje nesnalazenje u trigonometriji

a isto tako znam i da je [inlmath]a+b[/inlmath] vece od [inlmath]c[/inlmath]...

Počni da koristiš već jednom taj Latex kako treba. Poslednja opomena

Sinisa je napisao:dokazati da je [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\longrightarrow\alpha+\beta=60^\circ[/inlmath]

A, pa to se vrlo lako dokazuje. Samo u [inlmath]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/inlmath] uvrstiš [inlmath]\gamma=120^\circ[/inlmath] kao što ti je i dato u zadatku, pa dobiješ
[dispmath]\alpha+\beta+120^\circ=180^\circ\\
\alpha+\beta=180^\circ-120^\circ\\
\enclose{box}{\alpha+\beta=60^\circ}[/dispmath]
Dosuše, pojavljuje se ispod toga i nekakva formula

Sinisa je napisao:[dispmath]c\ge\frac{\sqrt{3}}{2}(a+b)[/dispmath]

ali za nju ne znam šta će tu, ništa za nju nisi napisao.


P.S. Izvini, al' kako si postavio pitanje, tako sam ti ja i odgovorio.

hvala puno, a mozes li mi pomoci i oko te formule sto se pojavljuje?

Sa slike je
[dispmath]c=a\cos\beta+b\cos\alpha[/dispmath]
Posmatrajmo kako se dužina stranice [inlmath]c[/inlmath] menja s promenom dužina [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], pri čemu zbir [inlmath]a+b[/inlmath] održavamo konstantnim.

Na osnovu kosinusne teoreme,
[dispmath]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\
c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ\\
c^2=a^2+b^2-\cancel2ab\cdot\left(-\frac{1}{\cancel2}\right)\\
c^2=a^2+b^2+ab\\
c^2=\left(a+b\right)^2-ab[/dispmath]
Pošto je [inlmath]a+b[/inlmath] konstantno, označimo ga npr. sa [inlmath]k[/inlmath], a [inlmath]b[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]a+b=k\\
b=k-a[/dispmath]
Uvrstimo u prethodnu jednakost,
[dispmath]c^2=k^2-a\left(k-a\right)\\
c=\sqrt{a^2-ka+k^2}[/dispmath]
Tražimo za koje [inlmath]a[/inlmath] će dužina [inlmath]c[/inlmath] biti minimalna. To radimo tako što prvi izvod [inlmath]c[/inlmath] po [inlmath]a[/inlmath] izjednačimo s nulom:
[dispmath]c'_a=\left(\sqrt{a^2-ka+k^2}\right)'_a=\frac{1}{2\sqrt{a^2-ka+k^2}}\cdot\left(2a-k\right)=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{k}{2}[/dispmath][dispmath]b=k-a=k-\frac{k}{2}=\frac{k}{2}\quad\Rightarrow\quad a=b[/dispmath]
(Može se dokazati da je u pitanju minimum a ne maksimum, tako što tražimo drugi izvod i pokazujemo da je on za tu vrednost [inlmath]a[/inlmath] pozitivan. To prepuštam tebi.)

Odavde sledi da će, pri konstantnom zbiru [inlmath]a+b[/inlmath], dužina [inlmath]c[/inlmath] biti minimalna onda kada je [inlmath]a=b[/inlmath], tj. kada je trougao jednakokraki, a to znači kada su mu uglovi [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] jednaki. Tada će važiti
[dispmath]\alpha+\beta=180^\circ-120^\circ=60^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=\beta=30^\circ[/dispmath]
i u tom slučaju će važiti
[dispmath]c=a\cos\beta+b\cos\alpha=\frac{k}{2}\cos30^\circ+\frac{k}{2}\cos30^\circ=k\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}k=\frac{\sqrt3}{2}\left(a+b\right)[/dispmath]
Pošto je to slučaj kada [inlmath]c[/inlmath] ima najmanju vrednost, zaključujemo da [inlmath]c[/inlmath] u opštem slučaju može imati ili tu vrednost ili veću, tj.
[dispmath]c\ge\frac{\sqrt3}{2}\left(a+b\right)[/dispmath]

oznacio sam zbir kateta kao konstantu i sve i trazio sam sta bih mogao uraditi dalje, bez ikakvog pomisljanja da koristim izvod(a trenutno ih ucim u skoli)

da li mozda postoji neki jednostavniji nacij za rijesavanje? ovo mi izgleda malo komplikovaniji zadatak u poredjenju sa ostalim zadacima sa prijemnog ispita...

Zapravo, nije neophodno korišćenje izvoda, može se raditi i bez njih.

Pošto je kvadratna funkcija monotono rastuća za pozitivne brojeve, a [inlmath]c[/inlmath] jeste pozitivno, opravdano je reći da će [inlmath]c[/inlmath] biti minimalno onda kada je i [inlmath]c^2[/inlmath] minimalno. To znači, traženje [inlmath]a[/inlmath] za koje je [inlmath]c[/inlmath] minimalno možemo svesti na traženje [inlmath]a[/inlmath] za koje je [inlmath]c^2[/inlmath] minimalno, tj. za koje je izraz [inlmath]a^2-ka+k^2[/inlmath] minimalan. A pošto znamo da je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena (u ovom slučaju minimuma) kvadratne funkcije [inlmath]ax^2+bx+c[/inlmath] određena izrazom [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath], za kvadratnu funkciju [inlmath]a^2-ka+k^2[/inlmath] biće [inlmath]x_T=-\frac{-k}{2\cdot1}=\frac{k}{2}[/inlmath].

E sad, da l' postoji neki lakši način – ja ga trenutno ne vidim, ako neko bude znao nek dopiše. A dopisaću i ja, ako mi sine neka bolja ideja.

sada mi je jasno, ja sam to uradio ali sam uradio tacku minimuma i dobio sam je u obliku [inlmath](x,y)[/inlmath] a to [inlmath]y[/inlmath] mi nije ni trebalo