MATEMANIJA

U jednakokraki trougao osnovica duzine [inlmath]4\mbox{ cm}[/inlmath] i kraka duzine [inlmath]8\mbox{ cm}[/inlmath] upisan je krug. u Isti trougao upisan je niz krugova tako da svaki od njih dodiruje krake trougla i prethodno upisani krug. Zbir povrsina tako upisanih krugova je?

Da li ovo ima veze za progresijama i kako da postavim ?

Tako je, u pitanju je geometrijska progresija.


Uočiš to da su trouglovi [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], [inlmath]\triangle AB_1C_1[/inlmath], [inlmath]\triangle AB_2C_2[/inlmath], [inlmath]\triangle AB_3C_3[/inlmath] itd. međusobno slični, i to: stranice trougla [inlmath]\triangle AB_1C_1[/inlmath] odnose se prema stranicama trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] u istom odnosu kao i stranice trougla [inlmath]\triangle AB_2C_2[/inlmath] prema stranicama trougla [inlmath]\triangle AB_1C_1[/inlmath] itd. Neka je taj odnos [inlmath]k:1[/inlmath]. Tada će površina crvenog kruga biti u odnosu [inlmath]k^2:1[/inlmath] prema površini najvećeg (plavog) kruga, u istom tom odnosu će biti površina zelenog kruga prema površini crvenog kruga...

Znači, nađeš površinu najvećeg kruga, to će biti prvi član geometrijskog niza; nađeš odnos stranica trouglova [inlmath]\triangle AB_1C_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], kvadriraš taj odnos i to će biti količnik geometrijskog niza. Zatim samo primeniš formulu za sumu geometrijskog niza, kod kojeg [inlmath]n\to\infty[/inlmath]...

Da bi se odredio zbir svih površina treba da [inlmath]q\in(0,1)[/inlmath].Ali ponovo ne mogu ni da odredim prvi član a ni [inlmath]q[/inlmath].Zbunjuje me ova priča oko sličnosti datih trouglova. Znam da koeficjent kod površine mora da ima kvadrat jer je površina u kvadratnim mjernim jedinicama. Ovo mi nije jasno [inlmath]k:{\color{red}1}[/inlmath] Tačnije od kud jedinica ? Kako se preko sličnosti došlo do toga ? Čak kada ovo znam ponovo mi nije jasno kako odrediti poluprečnik najvećeg kruga.

Gamma je napisao:Ovo mi nije jasno [inlmath]k:{\color{red}1}[/inlmath] Tačnije od kud jedinica ?

Ako te buni kako to da dve veličine mogu da stoje u međusobnom odnosu [inlmath]k:1[/inlmath] – natrag u osnovnu školu.

Gamma je napisao:Čak kada ovo znam ponovo mi nije jasno kako odrediti poluprečnik najvećeg kruga.

Najveći krug je krug koji je upisan u taj trougao. A njegov poluprečnik možeš odrediti preko površine trougla (formulu si upravo ti izvodio u ovoj temi), a površinu trougla možeš odrediti preko Heronovog obrasca...

Uradio sam zadatak ako neko može da pogleda rješenje.Sve je tačno stalo na jednu stranu.
[dispmath]a_1=4\sqrt{15}\\
q=\frac{9}{25}\\
S=\frac{25}{4}\sqrt{15}\mbox{ cm}^2[/dispmath]

Označio sam sa [inlmath]P[/inlmath] površinu i kruga i trougla. Tako da sam mahinalno uvrstio površinu trougla sem površine kruga. Prvi član geometrijskog niza treba da bude [inlmath]a_1=\frac{12}{5}\pi[/inlmath] a ukupan zbir površina [inlmath]S=\frac{15}{4}\pi\mbox{ cm}^2[/inlmath].Mada ni za ovo nisam siguran.

Tako je, [inlmath]a_1=\frac{12}{5}\pi,\;q=\frac{9}{25},\;S=\frac{15}{4}\pi\mbox{ cm}^2[/inlmath].