MATEMANIJA

Kolika je visina prave kupe najmanje zapremine, opisane oko sfere poluprecnika [inlmath]R[/inlmath]...

-znam da trebam izraziti [inlmath]r^2[/inlmath] preko [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]

pokusao sam da koristim proporciu [inlmath]R:r=(H-R):s[/inlmath]

ima li neko neku ideju?

Prvo što mi pada na pamet je da je vertikalni presek te kupe i te sfere zapravo jednakostranični trougao sa upisanim krugom. Onda je ultra lako naći visinu kupe. No stvarno nisam siguran da bi to zaista bio poprečni presek kupe najmanje zapremine. Intuitivno-to je tako, ali nisam ni nacrtao, tako da ne mogu tvrditi. Obično se u takvim zadacima traži ekstremna vrednost preko [inlmath]V(h)[/inlmath] koje mora biti minimalno, preko prvog izvoda. Eto, ovo je samo ideja...Izvini, žurim, ali probaj, možda nisam pogrešio...

znam da trebam naci izvod, ali ga mogu traziti samo kada mi jedina nepoznata bude [inlmath]H[/inlmath], [inlmath]R[/inlmath] je svakako konstanta...

ne moze biti jednakostranicni trougao, rjesenje je [inlmath]H=4R[/inlmath] a kada bi bio jednakostranicni trougao bilo bi [inlmath]H=3R[/inlmath]...

U pravu si, nije jednakostranični nego jednakokraki. Evo šta nađoh: http://www.gimnazijabp.me/matematika/Pr ... izvoda.pdf
Pogledaj peti zadatak: Oko polukruga poluprečnika [inlmath]r[/inlmath] opisati jednakokraki trougao minimalne površine.
Ja mislim da je to-to, mada su zakomplikovali, mora da postoji i jednostavnije rešenje. A ako je rešeno u preseku (ravni) zbog simetrije je rešeno i u prostoru.

Pogledaj ti petnaesti zadatak na istoj stranici... hahaha

E, svaka ti čast, gde pogleda do kraja A ja našao u ravni, pa rekoh lako uopštiti...
Ali priznaj da sam se potrudio

sutra moram pogledati kako sam ja radio ovaj zadatak, zato sto sam radio i preko ove proporcije koju sam ovde napisao i preko one koju su oni koristili da urade zadatak (moraju oba nacina biti ispravna)... koristio sam isto slicnost ona dva trougla...

ma vjerovatno opet neka greska u racunu kao i obicno

zadatak se moze uraditi i preko proporcije koju sam naveo u mom prvom postu, ja sam imao gresku u racunu pa nisam dobio tacno rjesenje

Još jedan način:
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\left(H-R\right)^2=R^2+\left(s-r\right)^2\\
s^2=H^2+r^2
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\cdots[/dispmath]

Siniša ne bi bilo loše ako ne napišeš čitav postupak makar napiši dio rješenja. Mislim na izvod funkcije.Kada se to napiše lako je onda. Evo recimo ja sam probavao uraditi na taj tvoj način i smeta mi [inlmath]S^2[/inlmath] jeste da sam ga tretirao kao konstantu ali ponovo ne mogu dobiti pravo rješenje.

hahahahahahahahahahaha... ti si stranicu [inlmath]S[/inlmath] koja zavisi od nepoznatih [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] tretirao kao konstantu?

Kod tebe je bio sigurno pad koncentracije pa nisi dobio dobro rješenje.
Aj sad ozbiljno hoćeš li napisati funkciju i prvi izvod od te funkcije ? Da ili ne ?
U ovome pdf-u je sasvim druga priča jer se sve svede na jednu konstantu [inlmath]R[/inlmath] i promjenjuvu [inlmath]x[/inlmath].Onda je lako.A i kada uvedem smjenu [inlmath]S^2=H^2+r^2[/inlmath] ponovo ću imati tri nepoznate [inlmath]r,R,H[/inlmath].Baš me zanima kako je sve svedeno kod tebe na [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath].Ne bih rekao da su ovde bez razloga odredili minimalni poluprečnik pa tek onda izražavali visinu nisu išli direktno na visinu.

uvrsti [inlmath]s^2=H^2+r^2[/inlmath] u onu proporciju koju sam na pocetku rekao... onda iz te proporcije izrazi [inlmath]r^2[/inlmath] (imaces [inlmath]r[/inlmath] izrazeno preko [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]) i to sve uvrstis u formulu za zapreminu i tek onda trazis izvod... [inlmath]R[/inlmath] posmatraz kao konstantu a [inlmath]H[/inlmath] kao nepoznatu

[inlmath]V=\pi\frac{H^2R^2}{3(H-2R)}[/inlmath] ovo ces dobiti kada uvrstis [inlmath]r[/inlmath], dobijeno na nacin koji sam prethodno rekao, u formulu za zapreminu kupe

Uspio sam ga uraditi jutros. Ali sam zaboravio napisati.Dobije se i rješenje [inlmath]H=0[/inlmath] koje naravno otpada...

Kada ces da naučiš taj latex koristiti Ovo [inlmath]H-2R[/inlmath] treba da ide u nazavnik a ovako je ispalo dosta zbunjujuće.

^ Moja greška. Hteo sam da mu korigujem formulu koja je bila napisana [inlmath]V=\pi(H^2R^2)/3(H-2R)[/inlmath], ali sam je u žurbi pogrešno korigovao.

Sad je ispravljeno.

Daniele kada smo već kod ovoga zadatka da ne ostavljam za poslije.Interesuje me kod ovoga tvoga načina koja će promjenjiva biti u funkciji zapremne? Nekako naliči mi ovaj način onome iz PDF-a.

Verovatno si hteo da pitaš obrnuto – u funkciji koje promenljive će biti izražena zapremina.

Uvrštavanjem druge jednačine u prvu eliminišeš [inlmath]s[/inlmath] i izraziš [inlmath]r[/inlmath] preko [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath]. Uvrstiš to umesto [inlmath]r[/inlmath] u formulu za zapreminu kupe i dobićeš isti izraz za zapreminu u funkciji visine, koji je i Siniša dobio.

E upravo to. Nekako ovaj tvoj način mi izgleda dosta komplikovaniji. Pitanje je kako izvući iz ovoga [inlmath]r^2[/inlmath]?
[dispmath]-2HR=2r^2-2r\sqrt{H^2+r^2}[/dispmath]

Znaš valjda kako se rešava iracionalna jednačina – sabirak koji sadrži koren na jednu stranu, sve ostale sabirke na drugu stranu. Zatim obe strane kvadriraš...

Nije tako teško izraziti [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]-\cancel2HR=\cancel2r^2-\cancel2r\sqrt{H^2+r^2}[/dispmath][dispmath]r\sqrt{H^2+r^2}=r^2+HR[/dispmath][dispmath]r^2\left(H^2+r^2\right)=r^4+2HRr^2+H^2R^2[/dispmath][dispmath]r^2H^2+\cancel{r^4}=\cancel{r^4}+2HRr^2+H^2R^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(H^2-2HR\right)=H^2R^2[/dispmath][dispmath]r=\frac{HR}{\sqrt{H^2-2HR}}[/dispmath]

Mislio sam da se neće poništiti [inlmath]r^4[/inlmath] i [inlmath]r^4[/inlmath].Ova iracionalna jednačina me je asocirala kada je kvadriram na bikvadratnu jednačinu.Ali skonato sam to,naravno riješio sam ovaj zadatak samo sam zaboravio na ovu temu.

postajes zaboravam u zadnje vrijeme mislim, cesto govoris da si rijesio zadatak ali zaboravio napisati

Još mi se ti samo javi Ti ga nikada i ne napišeš navodno mrsko ti je koristiti latex.Ja ga napišem kada stignem.Mada u poslijednje vrijeme nemam nešto puno vremena za to...

kako to? pa da ti nisam napisao rjesenje ovog zadatka sam ga nikad ne bi rijesio pogledaj malo prethodne postove...