MATEMANIJA

Ako moze pomoc oko ovog zadatka,ne znam kako da krenem:

Iz centra kruznice opisane oko jednakokrakog trapeza krak trapeza se vidi pod uglom od [inlmath]60[/inlmath] stepeni. Ako je [inlmath]h[/inlmath] duzina visine tog trapeza tada je negova povrsina jednaka?

Resenje: [inlmath]\sqrt3h^2[/inlmath]

Nacrtaj sliku (to je prvo i osnovno).

Posmatraj trougao kojeg obrazuju centar kružnice i temena jednog kraka trapeza. To je jednakokraki trougao, jer su dva kraka tog trougla poluprečnici kružnice. Pošto je ugao između krakova tog jednakokrakog trougla jednak [inlmath]60^\circ[/inlmath], a znamo da su mu, pošto je jednakokraki, preostala dva ugla međusobno jednaka, šta još možemo zaključiti o tom jednakokrakom trouglu?
U kom odnosu stoje krak ovog trapeza i poluprečnik njegove opisane kružnice?

Jel se ovde svede na to da je [inlmath]b=\frac{a}{2}[/inlmath], pa se zatim izracuna [inlmath]m[/inlmath] i izrazi preko [inlmath]h[/inlmath]? Dobije se da je [inlmath]m=\sqrt3h[/inlmath] i kad se pomnozi sa [inlmath]h[/inlmath] za povrsinu, to je taj rezultat.

Na osnovu raspoloživih podataka, ništa ne znamo o odnosu stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Njihov odnos može biti bilo koji. U opštem slučaju, dakle, ne mora biti [inlmath]b=\frac{a}{2}[/inlmath].

Mi dobijamo ustvari jednakostranicni trougao,gde je osnovica jednaka sa poluprecnikom. Ako je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath], a druga dva moraju jednaka da budu onda su i ta druga dva [inlmath]60^\circ[/inlmath]

Tako je dobije se da je [inlmath]r=b[/inlmath] što slijedi iz toga jednakostraničnog trougla.
Daniele meni nije jasna ova priča oko odnosa osnovica. Ja dobijem preko sinusne teoreme [inlmath]a:b=\sqrt3:1[/inlmath].[inlmath]a[/inlmath] mora biti veće od [inlmath]b[/inlmath] sigurno.Ali ponovo kako god okrenem ne mogu da izrazim središnicu preko visine.Jeste da je ovde u pitanju tetivni četverougao ali ne znači nam to puno.

da bi se u trapez mogla upisati kruznica on mora zadovoljavati uslov [inlmath]a+b=c+d[/inlmath]... nisam siguran, ali mislim da se i ovo svojstvo trapeza treba iskoristiti

Stvarno ne znam šta da ti kažem ovo je dokaz da si ti taj koji pretrpava temu nepotrebnim stvarima. Kakve bolan veze ima tetivni i tangentni četvorougao? I kako ćeš iskoristiti to svojstvo tangentnog četvorougla ovde ? Apsolutno to nema nikakve veze. I ovaj zadatak nema nikakve veze sa upisanom kružnicom već je riječ o opisanoj.

kristinaaa je napisao:Mi dobijamo ustvari jednakostranicni trougao,gde je osnovica jednaka sa poluprecnikom. Ako je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath], a druga dva moraju jednaka da budu onda su i ta druga dva [inlmath]60^\circ[/inlmath]

I, nisi odgovorila, u kom odnosu onda stoje poluprečnik kružnice i krak tog trapeza?

Gamma je napisao:Tako je dobije se da je [inlmath]r=b[/inlmath] što slijedi iz toga jednakostraničnog trougla.

Ajd prvo da razjasnimo šta podrazumevaš pod [inlmath]b[/inlmath]. Običaj je da se kod trapeza veća osnovica obeležava sa [inlmath]a[/inlmath], manja sa [inlmath]b[/inlmath], a kraci sa [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] (ako je trapez jednakokrak, kao u ovom slučaju, onda se kraci obeležavaju sa [inlmath]c[/inlmath]).

Gamma je napisao:Daniele meni nije jasna ova priča oko odnosa osnovica. Ja dobijem preko sinusne teoreme [inlmath]a:b=\sqrt3:1[/inlmath].

Kako si to dobio? Možeš li napisati postupak?

Gamma je napisao:[inlmath]a[/inlmath] mora biti veće od [inlmath]b[/inlmath] sigurno.

Ako obeležavamo na uobičajen način, onda da. Ali, ništa nas ne sprečava ni da kraću osnovicu obležimo sa [inlmath]a[/inlmath], a veću sa [inlmath]b[/inlmath], ali to je sad već druga priča, da ne širimo temu i na to.

Gamma je napisao:I ovaj zadatak nema nikakve veze sa upisanom kružnicom već je riječ o opisanoj.

Ovo je tačno, svojstvo koje si ti, @Siniša, naveo, važi za tangentne četvorouglove, a ovaj trapez je tetivni (kao i svaki jednakokraki trapez).

Daniel je napisao::?:
Ajd prvo da razjasnimo šta podrazumevaš pod [inlmath]b[/inlmath]. Običaj je da se kod trapeza veća osnovica obeležava sa [inlmath]a[/inlmath], manja sa [inlmath]b[/inlmath], a kraci sa [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] (ako je trapez jednakokrak, kao u ovom slučaju, onda se kraci obeležavaju sa [inlmath]c[/inlmath]).

Nas su u školi učili uvijek [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] osnovice a [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] kraci. Ne znam jeste da je i meni to bilo malo nelogično ali... Sigurno kao ide se na onu foru u smjeru kazaljke na satu.

Daniel je napisao:Kako si to dobio? Možeš li napisati postupak?

Evo ide postupak.
Kako znamo iz jednakostraničnog trougla da je [inlmath]r=b[/inlmath].
[dispmath]\frac{a}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{r}{\sin\frac{\pi}{6}}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{r}{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sqrt3}=r[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sqrt3}=b[/dispmath][dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\sqrt3}{1}[/dispmath]