MATEMANIJA

Ako moze pomoc oko ovog zadatka,ne znam kako da krenem:

Iz centra kruznice opisane oko jednakokrakog trapeza krak trapeza se vidi pod uglom od [inlmath]60[/inlmath] stepeni. Ako je [inlmath]h[/inlmath] duzina visine tog trapeza tada je negova povrsina jednaka?

Resenje: [inlmath]\sqrt3h^2[/inlmath]

Nacrtaj sliku (to je prvo i osnovno).

Posmatraj trougao kojeg obrazuju centar kružnice i temena jednog kraka trapeza. To je jednakokraki trougao, jer su dva kraka tog trougla poluprečnici kružnice. Pošto je ugao između krakova tog jednakokrakog trougla jednak [inlmath]60^\circ[/inlmath], a znamo da su mu, pošto je jednakokraki, preostala dva ugla međusobno jednaka, šta još možemo zaključiti o tom jednakokrakom trouglu?
U kom odnosu stoje krak ovog trapeza i poluprečnik njegove opisane kružnice?

Jel se ovde svede na to da je [inlmath]b=\frac{a}{2}[/inlmath], pa se zatim izracuna [inlmath]m[/inlmath] i izrazi preko [inlmath]h[/inlmath]? Dobije se da je [inlmath]m=\sqrt3h[/inlmath] i kad se pomnozi sa [inlmath]h[/inlmath] za povrsinu, to je taj rezultat.

Na osnovu raspoloživih podataka, ništa ne znamo o odnosu stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Njihov odnos može biti bilo koji. U opštem slučaju, dakle, ne mora biti [inlmath]b=\frac{a}{2}[/inlmath].

Mi dobijamo ustvari jednakostranicni trougao,gde je osnovica jednaka sa poluprecnikom. Ako je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath], a druga dva moraju jednaka da budu onda su i ta druga dva [inlmath]60^\circ[/inlmath]

Tako je dobije se da je [inlmath]r=b[/inlmath] što slijedi iz toga jednakostraničnog trougla.
Daniele meni nije jasna ova priča oko odnosa osnovica. Ja dobijem preko sinusne teoreme [inlmath]a:b=\sqrt3:1[/inlmath].[inlmath]a[/inlmath] mora biti veće od [inlmath]b[/inlmath] sigurno.Ali ponovo kako god okrenem ne mogu da izrazim središnicu preko visine.Jeste da je ovde u pitanju tetivni četverougao ali ne znači nam to puno.

da bi se u trapez mogla upisati kruznica on mora zadovoljavati uslov [inlmath]a+b=c+d[/inlmath]... nisam siguran, ali mislim da se i ovo svojstvo trapeza treba iskoristiti

Stvarno ne znam šta da ti kažem ovo je dokaz da si ti taj koji pretrpava temu nepotrebnim stvarima. Kakve bolan veze ima tetivni i tangentni četvorougao? I kako ćeš iskoristiti to svojstvo tangentnog četvorougla ovde ? Apsolutno to nema nikakve veze. I ovaj zadatak nema nikakve veze sa upisanom kružnicom već je riječ o opisanoj.

kristinaaa je napisao:Mi dobijamo ustvari jednakostranicni trougao,gde je osnovica jednaka sa poluprecnikom. Ako je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath], a druga dva moraju jednaka da budu onda su i ta druga dva [inlmath]60^\circ[/inlmath]

I, nisi odgovorila, u kom odnosu onda stoje poluprečnik kružnice i krak tog trapeza?

Gamma je napisao:Tako je dobije se da je [inlmath]r=b[/inlmath] što slijedi iz toga jednakostraničnog trougla.

Ajd prvo da razjasnimo šta podrazumevaš pod [inlmath]b[/inlmath]. Običaj je da se kod trapeza veća osnovica obeležava sa [inlmath]a[/inlmath], manja sa [inlmath]b[/inlmath], a kraci sa [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] (ako je trapez jednakokrak, kao u ovom slučaju, onda se kraci obeležavaju sa [inlmath]c[/inlmath]).

Gamma je napisao:Daniele meni nije jasna ova priča oko odnosa osnovica. Ja dobijem preko sinusne teoreme [inlmath]a:b=\sqrt3:1[/inlmath].

Kako si to dobio? Možeš li napisati postupak?

Gamma je napisao:[inlmath]a[/inlmath] mora biti veće od [inlmath]b[/inlmath] sigurno.

Ako obeležavamo na uobičajen način, onda da. Ali, ništa nas ne sprečava ni da kraću osnovicu obležimo sa [inlmath]a[/inlmath], a veću sa [inlmath]b[/inlmath], ali to je sad već druga priča, da ne širimo temu i na to.

Gamma je napisao:I ovaj zadatak nema nikakve veze sa upisanom kružnicom već je riječ o opisanoj.

Ovo je tačno, svojstvo koje si ti, @Siniša, naveo, važi za tangentne četvorouglove, a ovaj trapez je tetivni (kao i svaki jednakokraki trapez).

Daniel je napisao::?:
Ajd prvo da razjasnimo šta podrazumevaš pod [inlmath]b[/inlmath]. Običaj je da se kod trapeza veća osnovica obeležava sa [inlmath]a[/inlmath], manja sa [inlmath]b[/inlmath], a kraci sa [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] (ako je trapez jednakokrak, kao u ovom slučaju, onda se kraci obeležavaju sa [inlmath]c[/inlmath]).

Nas su u školi učili uvijek [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] osnovice a [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] kraci. Ne znam jeste da je i meni to bilo malo nelogično ali... Sigurno kao ide se na onu foru u smjeru kazaljke na satu.

Daniel je napisao:Kako si to dobio? Možeš li napisati postupak?

Evo ide postupak.
Kako znamo iz jednakostraničnog trougla da je [inlmath]r=b[/inlmath].
[dispmath]\frac{a}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{r}{\sin\frac{\pi}{6}}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{r}{\frac{1}{2}}[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sqrt3}=r[/dispmath][dispmath]\frac{a}{\sqrt3}=b[/dispmath][dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\sqrt3}{1}[/dispmath]

Gamma je napisao:Nas su u školi učili uvijek [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] osnovice a [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] kraci. Ne znam jeste da je i meni to bilo malo nelogično ali... Sigurno kao ide se na onu foru u smjeru kazaljke na satu.

Aha, dobro onda ako ste vi tako obeležavali, onda je to što si napisao [inlmath]r=b[/inlmath] tačno...

Gamma je napisao:Evo ide postupak.
Kako znamo iz jednakostraničnog trougla da je [inlmath]r=b[/inlmath].
[dispmath]\frac{a}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{r}{\sin\frac{\pi}{6}}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]\frac{a}{b}=\frac{\sqrt3}{1}[/dispmath]

Ne znam gde si pronašao ove uglove [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], ali ja za tvoj rezultat imam kontraprimer:

Evo moje skice,jeste da je malo nakredna ali može se pročitati.

Na osnovu čega si zaključio da su ti uglovi [inlmath]120^\circ[/inlmath], odnosno [inlmath]30^\circ[/inlmath]?

To što si ti radio je neki specijalan slučaj ovog zadatka, što znači da su u opštem slučaju te vrednosti uglova drugačije.

Pun krug mora imati [inlmath]360^\circ[/inlmath]. Mislim zbir tih svih uglova mora biti [inlmath]360^\circ[/inlmath]. A ovo za [inlmath]30^\circ[/inlmath] slijedi iz jednakokrakoga trougla čiji zbir uglova mora biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]

Pun krug mora biti [inlmath]360^\circ[/inlmath], to je tačno. Ali, na osnovu čega si zaključio da, kad od [inlmath]360°[/inlmath] oduzmeš dva ugla od [inlmath]60^\circ[/inlmath], onaj ostatak od [inlmath]240^\circ[/inlmath] mora biti podeljen na dva jednaka ugla? Zbog čega jedan od ta dva ugla ne bi mogao, recimo, biti [inlmath]160^\circ[/inlmath], a drugi [inlmath]80^\circ[/inlmath]?

Upravu si,ne znam ni ja kako sam to zaključio. Nego ima li ko kakvo rješenje?

Da, kad smo ovo razjasnili, mogli bismo se vratiti na suštinu ovog zadatka.
Ja ću koristiti oznake [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] za osnovice, a [inlmath]c[/inlmath] za krakove, ne zato što sam tako navikao (a jesam), već pre svega jer je to mnogo češći način obeležavanja.

Obeležimo sa [inlmath]\alpha[/inlmath] ugao između osnovice [inlmath]a[/inlmath] i kraka [inlmath]c[/inlmath].


Prvo je potrebno [inlmath]r[/inlmath] izraziti preko visine [inlmath]h[/inlmath] i ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], a zatim, posmatrajući žuto obeležene trouglove na slici, potrebno je i osnovicu [inlmath]a[/inlmath] i osnovicu [inlmath]b[/inlmath] izraziti u zavisnosti od [inlmath]r[/inlmath] i od [inlmath]\alpha[/inlmath].

Ako ovo objašnjenje nije dovoljno detaljno i precizno – ne treba ni da bude, to su samo smernice po kojima treba raditi.

Pokušaću ja ovo uraditi. Evo odmah sam zapo na prvom dijelu ovo oko izražavanja [inlmath]r[/inlmath]. Jer ja stvarno nemam ideju.Na koji fazon treba izraziti [inlmath]r[/inlmath] preko ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i visine [inlmath]h[/inlmath]?

[dispmath]\mathrm{ctg}\:30^\circ=\sqrt3=\frac{m}{h}\\
m=h\sqrt3\\
P=mh=h\sqrt3h=h^2\sqrt3[/dispmath]

Ja sam to ipak uradio malo krace

Sjajno rešenje!

Svaka čast, veoma jednostavno.

Bobanex, BRAVO. Elegantno. Tražim na koji način se ovde pohvaljuje (ako ja to uopšte mogu?).

Samo klikni na ikonicu u gornjem desnom uglu. Onaj prst

Hvala. U prvoj iteraciji kad sam clicknuo mi je u pop-up ispisalo ko sve se zahvalio, sad je prihvatio. (Možda sam predugo držao click. )
Ma došao sam i ja do periferijskog od [inlmath]30^\circ[/inlmath] ali... GENIJALNO. Zato kažu: "Bolje isti zadatak na više načina, nego više zadataka na isti način."

Ispričaste se svi, a rešenja nigde.
Jedini zaključak je da je krak isti kao poluprečnik opisane kružnice i tu je kraj.

Djidja22 je napisao:Ispričaste se svi, a rešenja nigde.

Rekao bih da nisi pročitao celu temu...