MATEMANIJA

Evo zadataka koje ne uspevam da rešim. Pa ako neko može da mi da ideju ili koliko god pomogne.

1. Dužine osnovica jednakokrakog trapeza su [inlmath]10\mbox{ cm}[/inlmath] i [inlmath]6\mbox{ cm}[/inlmath], a kraci zaklapaju ugao od [inlmath]75^\circ[/inlmath] sa većom osnovicom. Površina tog trapeza je?
rešenje: [inlmath]16\left(2+\sqrt3\right)[/inlmath]
Uopšte ne znam kako da upotrebim ugao da bih našla visinu. Pokušavala sam i preko trigonometrije, ali nisam uspela.

2. Neka je tačka [inlmath]E[/inlmath] središte stranice [inlmath]BC[/inlmath] kvadrata [inlmath]ABCD[/inlmath] stranice [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]CF\bot DE,\;F\in DE[/inlmath]. Površina trougla [inlmath]DCF[/inlmath] je?
rešenje: [inlmath]\frac{a^2}{5}[/inlmath]
Nacrtala sam sliku i radila sam tako da kvadrat čine 4 trougla [inlmath]DCF[/inlmath] i još 4 [inlmath]ECF[/inlmath]. Ne znam kako da dokažem da su ta 4 [inlmath]ECF[/inlmath] isto što i 1 [inlmath]DCF[/inlmath]. Pretpostavljam da je ovo pogrešno.

3. Ako za stranice trougla [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] važi [inlmath]a-b=5\mbox{ cm},\;c=7\mbox{ cm}[/inlmath] i ako je ugao naspram stranice [inlmath]c[/inlmath] jednak [inlmath]60^\circ[/inlmath], onda je [inlmath]a+b[/inlmath]?
rešenje: [inlmath]11\mbox{ cm}[/inlmath]
Za ovo stvarno nisam imala nikakvu ideju. Ne mogu pomoću trigonometrije, jer nemam dovoljno datih elemenata, a ovo [inlmath]a-b=5\mbox{ cm}[/inlmath] ne umem da iskoristim.

1. [inlmath]\mathrm{tg}\:75^\circ=\frac{h}{x}[/inlmath]
[inlmath]x=\frac{10-6}{2}[/inlmath]

3. [inlmath]a=5+b[/inlmath]
[inlmath]a+b=5+2b[/inlmath]
koristi kosinusnu teoremu, imaces samo jednu nepoznatu tj. nepoznatu "[inlmath]b[/inlmath]" i to uvrsti u prethodnu formulu

drugi zadatak ce pricekati jer moram nacrtati sliku, a u zurbi sam trenutno

2. zadatak
Posto je [inlmath]\triangle DCE[/inlmath] pravougli sledi da je [inlmath]DE^2=DC^2+CE^2\;\Rightarrow\;DE=\frac{a\sqrt5}{2}[/inlmath]. Zatim iz slicnosti [inlmath]\triangle DCE\sim\triangle DCF[/inlmath] sledi da je
[dispmath]DC:DE=CF:CE[/dispmath][dispmath]a:\frac{a\sqrt5}{2}=CF:\frac{a}{2}[/dispmath][dispmath]\Downarrow[/dispmath][dispmath]CF=\frac{a\sqrt5}{5}[/dispmath]
Zatim iz pravouglog trougla [inlmath]\triangle DCF[/inlmath] sledi da je [inlmath]DF^2=DC^2-CF^2\;\Rightarrow\;DF=\frac{2a\sqrt5}{5}[/inlmath]. Povrsina trougla [inlmath]\triangle DCF[/inlmath] je
[dispmath]P=\frac{DF\cdot CF}{2}[/dispmath][dispmath]P=\frac{\frac{2a\sqrt5}{5}\cdot\frac{a\sqrt5}{5}}{2}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P=\frac{a^2}{5}}[/dispmath]
Mozda moze i krace.

Sinisa je napisao:3. [inlmath]a=5+b[/inlmath]
[inlmath]a+b=5+2b[/inlmath]
koristi kosinusnu teoremu, imaces samo jednu nepoznatu tj. nepoznatu "[inlmath]b[/inlmath]" i to uvrsti u prethodnu formulu

Može i bez računanja [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Iz kosinusne teoreme dobijemo
[dispmath]49=a^2+b^2-ab=a^2-2ab+b^2+ab=\left(a-b\right)^2+ab=25+ab\\
\Rightarrow\quad ab=24[/dispmath]
Zbir [inlmath]a+b[/inlmath] možemo sada naći na sledeći način:
[dispmath]a+b=\left|a+b\right|=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\sqrt{a^2+2ab+b^2}=\\
=\sqrt{a^2-2ab+b^2+4ab}=\sqrt{\left(a-b\right)^2+4ab}=\sqrt{5^2+4\cdot24}=11[/dispmath]

Ilija je napisao:2. zadatak
Posto je [inlmath]\triangle DCE[/inlmath] pravougli sledi da je [inlmath]DE^2=DC^2+CE^2\;\Rightarrow\;DE=\frac{a\sqrt5}{2}[/inlmath].
...
Mozda moze i krace.

Može malo kraće.

Pošto si našao da je [inlmath]DE=\frac{a\sqrt5}{2}[/inlmath], iz sličnosti [inlmath]\triangle DCE\sim\triangle DCF[/inlmath] sledi da se površine tih trouglova međusobno odnose kao kvadrati njihovih odgovarajućih stranica:
[dispmath]P_{\triangle DCE}:P_{\triangle DCF}=DE^2:DC^2\\
\Rightarrow\quad P_{\triangle DCF}=\frac{4}{5}P_{\triangle DCE}[/dispmath]
a površinu trougla [inlmath]\triangle DCE[/inlmath] vrlo lako odredimo:
[dispmath]P_{\triangle DCE}=\frac{CD\cdot CE}{2}=\frac{a^2}{4}[/dispmath]
Prema tome, tražena površina trougla [inlmath]\triangle DCF[/inlmath] iznosi:
[dispmath]P_{\triangle DCF}=\frac{\cancel4}{5}\cdot\frac{a^2}{\cancel4}=\frac{a^2}{5}[/dispmath]