MATEMANIJA

Evo jedan zadatak, koji me je relativno namucio . Imam ja resenje ovog zadatka, pa pre nego sto ga postavim, zanima me kako biste ga vi odradili (u nekim kratkim crtama).

U pravilnoj cetvorostranoj piramidi stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] i bocne strane zaklapaju sa ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Kroz jednu od ivica osnove postavljena je ravan tako da sa ravni osnove zaklapa ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Kolika je povrsina preseka piramide tom ravni?

Samo jedno pitanje. Koliko vidim presjek je paralelogram. Da li je taj paralelogram romb? Ako je romb mislim da bi se moglo nešto uraditi.

Ovo je trapez...

Evo mog pokusaja... povucem visinu i ta visina piramide ce poloviti i visinu tog trapeza pa ce biti [inlmath]\frac{a}{H}=\cos45^\circ[/inlmath], ( u pitanju je polovina [inlmath]H[/inlmath] i polovina [inlmath]a[/inlmath]) e sada moramo naci [inlmath]m[/inlmath] tog trapeza a to cemo uraditi na nacin da nadjem visinu na kojoj se nalazi [inlmath]m[/inlmath] tog trapeza [inlmath]mh\frac{2}{a}=\mathrm{tg}\:45^\circ[/inlmath] sada imamo visinu i ugao pod kojim leze bocna stana na osnovicu, sada cemo iskoristiu [inlmath]\frac{mh}{c}=\mathrm{tg}\:60^\circ[/inlmath] a [inlmath]c[/inlmath] je onaj mali dio tj razlika izmedju [inlmath]\frac{m}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath] sto znaci da je [inlmath]m=a-2c[/inlmath]

Pisem preko telefona...

Da. Presek je jednakokraki trapez.

Slika ti je uzasna...

Sinisa je napisao:Slika ti je uzasna...

Što užasna?
Po meni je slika ok, upućuje na postupak izrade zadatka. Nemojte da cepidlačimo.

Sinisa je napisao:Slika ti je uzasna...

Ništa bolji nije bio ni tvoj post pisan preko telefona, dok ga nisam korigovao...

Elem,

Sinisa je napisao:povucem visinu i ta visina piramide ce poloviti i visinu tog trapeza

Neće je poloviti, tako da, nažalost, ceo dalji postupak „pada u vodu“.

Priznajem da presek mozda nije bas verodostojno nacrtan, ali da je slika uzasna, ne bih se slozio.

cinila mi se dosta "uzasnije" dok sam bio na telefonu izvinjavam se na takvom izrazu...

[inlmath]c^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2[/inlmath] - visina trougla koji cini stranu piramide

sada posmatramo trougao koji cine visina trapeza, visina strane trougla i jos jedna stranica uglovi tog trougla su [inlmath]105^\circ[/inlmath],[inlmath]60^\circ[/inlmath] i [inlmath]15^\circ[/inlmath]

pa je
[dispmath]\frac{c}{\sin105^\circ}=\frac{h}{\sin60^\circ}[/dispmath]

ovo je pod pretpostavkom da je taj ugao ima [inlmath]105^\circ[/inlmath]

Evo nacrato sam ručno skicu samo iz druge ivice sam povukao ravan. Dosta bolje izgleda. Mada sa ove Ilijine skice presjek mi više liči na romb. Ali presjek je trapez kao što sam se i uvjerio.
Siniša kako si došao do tih uglova?

kada odredimo [inlmath]h[/inlmath] trapeza lako je izracunati njegovu povrsinu

unaprijed se izvinjavam zbog neurednosti

Pozdrav. Ovaj zadatak me je baš zainteresovao pa ću pokušati da dam rešenje. Polazim prvo od ove generalne slike pa ću ubaciti još par poprečnih preseka.


Ovde koristimo sinusnu teoremu da bi smo našli visinu trapeza.
[dispmath]\frac{h}{\sin(60^\circ)}=\frac{a}{\sin(75^\circ)}[/dispmath]
I odavde je
[dispmath]h=\sqrt{\frac{3}{2}}a\left(\sqrt3-1\right)[/dispmath]
Sada prelazimo na izračunavanje druge osnove trapeza.
Prvo nalazimo dužinu duži [inlmath]HJ[/inlmath] isto sinusnom teoremom.
[dispmath]\frac{HJ}{\sin(45^\circ)}=\frac{a}{\sin(75^\circ)}[/dispmath][dispmath]HJ=a\left(\sqrt3-1\right)[/dispmath]

Posto imam [inlmath]HJ[/inlmath] sa treće slike ćemo naći gornju osnovicu pomoću sličnosti trouglova.
[dispmath]\frac{EH}{EJ}=\frac{FG}{CB}[/dispmath][dispmath]\frac{EJ-HJ}{EJ}=\frac{FG}{CB}[/dispmath][dispmath]\frac{a-a\left(\sqrt3-1\right)}{a}=\frac{FG}{a}[/dispmath][dispmath]FG=a\left(2-\sqrt3\right)[/dispmath]
I sada samo koristimo formulu za povrsinu trapeza.
[dispmath]\frac{a\left(2-\sqrt3\right)+a}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}a\left(\sqrt3-1\right)=P[/dispmath][dispmath]P=a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)[/dispmath]
Izvinjavam se na velikim slikama pravio sam ih u geogebri pa ih eksportovao u .png fajl a nisam baš vičan za sve to. Nadam se da nisam pogrešio.

Dobro je. Ono sto bi trebalo izostaviti (konkretno ovde, zbog prirode ponudjenih odgovora kod ovog zadatka) je racionalisanje izraza i kod [inlmath]h[/inlmath] i kod [inlmath]FG[/inlmath].

P.S. Iako je vec napisano za velicinu slika, mogle su biti malo smanjene u nekom editoru.

*** Dodao bih, da u krajnjem resenju [inlmath]P=a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)[/inlmath], treba da stoji
[dispmath]P=\frac{a^2\sqrt6\left(2\sqrt3-3\right)}{\color{red}2}[/dispmath]
Verovatno se potkralo u racunu.

Koliko ja vidim stavljeno je [inlmath]\overline{EJ}=a[/inlmath], a [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] treba da bude visina jednakostraničnog trougla [inlmath]\overline{EJ}=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]

Smanjio sam slike. Gledaj da ih ubuduće ipak, što reče Ilija, umanjiš u nekom grafičkom programu (bilo koji softver bolji od Painta prodržava resize). Ili, ako ne znaš kako to da uradiš, možeš me kontaktirati na PP pa ću ti pomoći oko smanjivanja.

U svakom slučaju, hvala na rešenju koje si priložio.

Gamma je napisao:Koliko ja vidim stavljeno je [inlmath]\overline{EJ}=a[/inlmath], a [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] treba da bude visina jednakostraničnog trougla [inlmath]\overline{EJ}=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath]

Ne, Gamma, trougao [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] nije jednakostraničan, pa samim tim ni [inlmath]\overline{EJ}[/inlmath] nije visina jednakostraničnog trougla.
Jednakostraničan je trougao [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath].

ima greska u samom textu zadatka, kaze se da je piramida pravilna a s druge strane postoje oni uglovi od [inlmath]60^\circ[/inlmath] zbog koji zakljucujemo da je onaj trougao jednakostranicni... pa je sada nemoguce da je visina jednakostranicnog trougla jednaka njegovoj osnovici...

-u ovom zadatku je najbitnije bilo odrediti ugao pod kojim ova ravan dodiruje bocnu stranu, kasnije je sve racun

Sinisa je napisao:ima greska u samom textu zadatka, kaze se da je piramida pravilna a s druge strane postoje oni uglovi od [inlmath]60^\circ[/inlmath] zbog koji zakljucujemo da je onaj trougao jednakostranicni...

Nema nikakve greške u tekstu. To što je piramida pravilna ne znači da strane ne mogu biti pod uglom od [inlmath]60^\circ[/inlmath] u odnosu na osnovu. Pravilna piramida je ona kod koje je osnova pravilan mnogougao (u ovom slučaju, kod četvorostrane piramide, osnova je kvadrat). U tekstu nigde nije navedeno da piramida nije i prava, iliti uspravna (tj. da je visina te piramide normalna na ravan osnove), i slažem se da je tekst u tom smislu neprecizan, ali to možemo pretpostaviti jer bez tog podatka ne bi bilo moguće rešiti zadatak. To da je piramida prava nije u kontradikciji s podatkom da strana piramide s osnovom zaklapa ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath].

Sinisa je napisao:pa je sada nemoguce da je visina jednakostranicnog trougla jednaka njegovoj osnovici...

Naravno da visina jednakostraničnog trougla nije jednaka njegovoj osnovici. Ali, nemoj da te zbunjuje to što ovde postoje dva trougla koja posmatramo. Kako napisah i Gammi, trougao [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath] je jednakostraničan, a trougao [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] nije. Visina trougla [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] predstavlja stranicu jednakostraničnog trougla [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath], čija je stranica [inlmath]a[/inlmath], pa je zbog toga visina trougla [inlmath]\triangle EBC[/inlmath] jednaka osnovici trougla [inlmath]\triangle EIJ[/inlmath], a samim tim i stranici [inlmath]a[/inlmath].

Jasno mi je sada kako je [inlmath]\overline{EJ}=a[/inlmath]. Uočljivo je Pregledao sam sve i mislim da je ok, slučajno si zaboravio dvojku u nazivniku.

Kada smo već kod teksta zadatka čini mi se da sam uočio jednu grešku. Naravno nisam siguran, ali meni kako god okrenem tako nema smisla.
Kako se ja sjećam nas su učili
Ivice između osnove i bočnih strana se nazivaju ivice osnove.
Piramida ima jednu osnovu i sve bočne strane.
Treba izbaciti [inlmath]a[/inlmath] ili umjesto stranica napisati ivica.
Možda izgleda ovo nekako glupo, ali ovo nekada može dosta da zakomplikuje razumjevanje zadataka.

Ilija je napisao:U pravilnoj cetvorostranoj piramidi stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] i bocne strane zaklapaju sa ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Kroz jednu od ivica osnove postavljena je ravan tako da sa ravni osnove zaklapa ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]. Kolika je povrsina preseka piramide tom ravni?

Gamma je napisao:Ivice između osnove i bočnih strana se nazivaju ivice osnove.
Piramida ima jednu osnovu i sve bočne strane.
Treba izbaciti [inlmath]a[/inlmath] ili umjesto stranica napisati ivica.

Ovo bas i ne ukapirah. Svaka piramida ima osnovu. Ta osnova je ovde, posto je piramida pravilna, kvadrat, koji ima neku stranicu [inlmath]a[/inlmath]. Ujedno je to i stranica osnove piramide. E sad, da li ce se reci ivica ili stranica osnove, mislim da je potpuno svejedno. Mozda je ovde cak doslo do mesanja pojmova strana i stranica koji se po znacenju svakako razlikuju.

pretpostavljam da je @gamma htio da kaze da taj ugao ne zaklapa stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] vec osnova stranice [inlmath]a[/inlmath]

-osnova je mnogougao cija je stranica (ivica) [inlmath]a[/inlmath]

Pogledaj malo uopšteno o piramidi. Ovde što je nazvato stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] nas je učilo da se to zove ivica osnove [inlmath]a[/inlmath]. Tako i piše. Izgleda da ivica i stranica imaju isto značenje.

I ja mislim da u prvoj rečenici teksta zadatka nešto fali,

Ilija je napisao:U pravilnoj cetvorostranoj piramidi stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] i bocne strane zaklapaju sa ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath].

jer ovako napisana rečenica nije baš najsmislenija. Ipak, može se bez problema shvatiti o čemu se radi.

Mislim da je greškom izostavljena reč „je“. S njom bi sve bilo savršeno logično:

U pravilnoj cetvorostranoj piramidi stranica osnove je [inlmath]a[/inlmath] i bocne strane zaklapaju sa ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath].
...

Sa je sve je drugačije. Mada moguće je da ima štamparska greška. A možda je i Ilija zaboravio da napiše.

Gamma je napisao:Pogledaj malo uopšteno o piramidi. Ovde što je nazvato stranica osnove [inlmath]a[/inlmath] nas je učilo da se to zove ivica osnove [inlmath]a[/inlmath]. Tako i piše. Izgleda da ivica i stranica imaju isto značenje.

tako vas nisu mogli uciti, ne mozes naci ugao izmedju bocne strane i "ivice [inlmath]a[/inlmath]" jer je ta ivica ujedno i dio bocne strane... mozes naci samo ugao izmedju bocne strane i OSNOVE IVICE [inlmath]a[/inlmath]

- je li sad ovo ispravno "nazvaTo"

Daniel je napisao:Mislim da je greškom izostavljena reč „je“. S njom bi sve bilo savršeno logično:

U pravilnoj cetvorostranoj piramidi stranica osnove je [inlmath]a[/inlmath] i bocne strane zaklapaju sa ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath].
...

sta je ovde logicno? ko zaklapa ugao sa cim?

ovaj ugao zaklapa bocna strana sa osnovom, a ta osnova ima stranice [inlmath]a[/inlmath]... teziste je na tome da osnova ima stranice [inlmath]a[/inlmath], a ne da je [inlmath]a[/inlmath] stranica osnove... ovim dodatkom trebamo opisati kakva je ta osnova, a ne da opisujem kakva je stranica jer se sledeci dio texta odnosi na ugao izmedju osnove i bocne strane

Sinisa je napisao:sta je ovde logicno? ko zaklapa ugao sa cim?

Shvatićeš još malo...
Nazvato je ispravan oblik. Znaš kao ono na+zvati.
Aj razmisli šta je smisao ovakvih tvojih postova? Bez veze trošim svoje vrijeme na tebe. Ponašaš se kao dijete od 10 god. Počinješ da smaraš.

Video sam sad da sam zaboravio je na mestu koje je Daniel spomenuo. Izvinjavam se.

Sinisa je napisao:ovaj ugao zaklapa bocna strana sa osnovom, a ta osnova ima stranice [inlmath]a[/inlmath]...

... i taj smisao se upravo i dobije uz ovu korekciju s ubacivanjem reči „je“.

Sinisa je napisao:teziste je na tome da osnova ima stranice [inlmath]a[/inlmath], a ne da je [inlmath]a[/inlmath] stranica osnove...

Težište je na tome da danas kiša pada, a ne da danas pada kiša.

BTW oba oblika – i nazvato i nazvano – jesu ispravni (iako se ovaj prvi daleko ređe koristi).

Ilija je napisao:Video sam sad da sam zaboravio je na mestu koje je Daniel spomenuo. Izvinjavam se.

Neka si zaboravio. Pokrenuo si baš zanimljivu raspravu.

Bitno je da kisa pada, tj. pada kisa.
Pao sam. hahahha

Evo i ja umirem...

Kao moderator foruma smatram svojom obavezom da vas zamolim da neke komentare u svojim postovima sačuvate za druge rubrike, na primer Odmorište i slično.
Ovo je ozbiljan matematički forum i po mom mišljenju najbolji je u regionu.
I to zaslugom svih vas.
Nemojte da ispadamo neozbiljni kada nismo.

Ma pusti ljude, nek se malo na ovom forumu i razonode, dugo nisu. (Good & bad cop )

Aj' neka bude @Daniel
Ali koliko ja znam (makar ispadam "loš policajac") mi imamo posete i sa drugih kontinenata kugle zemaljske, a kad je kugla il' da kažem sfera bila piramida?
Eto, i mene ste opustili