MATEMANIJA

U jednakostranicni trougao [inlmath]ABC[/inlmath] stranice [inlmath]a[/inlmath] upisan je trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] tako da su [inlmath]A_1,\;B_1,\;C_1[/inlmath] sredista stranica trougla [inlmath]ABC[/inlmath]. U trougao [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] upisan je trougao [inlmath]A_2B_2C_2[/inlmath] tako da su [inlmath]A_2,\;B_2,\;C_2[/inlmath] sredista stranica trougla [inlmath]A_1B_1C_1[/inlmath] i tako dalje do u beskonacnost. Zbir povrsina svih ovih trouglova je ?

U resenju pise da je to jedna trecina povrsine trougla [inlmath]ABC[/inlmath]...i sad ja racunam koliko je to :
[dispmath]P=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{12}[/dispmath]
a tacno resenje je [inlmath]P=\frac{a^2\sqrt3}{3}[/inlmath]

Jeste dobro ovo ponuđeno rešenje. Ovo je, naravno, geometrijska progresija. Hajde da vidimo bez teorije redova:
Površina svakog unutrašnjeg (manjeg) trougla je četvrtina površine prethodnog (većeg). Zar nije tako?
To znači da imamo:
[dispmath]P=P_1+\frac{1}{4}P_1+\frac{1}{4^2}P_1+\cdots[/dispmath][dispmath]P=P_1\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots\right)[/dispmath][dispmath]P=P_1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}[/dispmath][dispmath]P=P_1\cdot\frac{4}{3}[/dispmath][dispmath]P=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{a^2\sqrt3}{3}[/dispmath]
Eto, ovako je i bez redova pa i bez limesa, a ti formalizuj...

Radi se o geometrijskoj progresiji.Primjeni formulu za dobijanje sume kada je [inlmath]q\in(0,1)[/inlmath]

@desideri ipak si bio brži od mene

Za minut, Gamma

Ne bih ja rekao da je minut. Puno mi je to. Možda je bilo na kraju minute ipak mislim da nije bilo ni 20s možda 10s najviše.

Da, ovaj isti zadatak je takodje i u oblasti za nizove i ovako je uradjen, ali mene buni ovo njihovo resenje u oblasti planimetrija da je zbir jedna trecina povrsine trougla [inlmath]ABC[/inlmath].

Pa i jeste, ako u zbir ne računamo onaj početni, najveći trougao.
Bitno je precizno postaviti zadatak.
Ova zabuna se svodi na:
[dispmath]\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}[/dispmath]

Ili, drugim rečima – zbir površina svih trouglova koji su upisani u trouglao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] (ne računajući površinu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]) iznosi trećinu površine trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a to je [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{12}[/inlmath].

Ali, ako se traži zbir površina svih trouglova, uključujući i trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], tada je tražena površina [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{3}[/inlmath], tj. uvećana u odnosu na prethodnu za [inlmath]\frac{a^2\sqrt3}{4}[/inlmath] (a to upravo i jeste površina trogula [inlmath]\triangle ABC[/inlmath]).

Sad razumem, hvala