MATEMANIJA

Zdravo:)
Ako može neko da mi pomogne,bila bi mu veoma zahvalna!
ovako:
1. povrsina baze pravilne šestostrane piramide je [inlmath]36\sqrt 3[/inlmath].Izračunaj zapreminu,ako njena bočna strana sa ravni osnove obrazuje ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]
2.Poluprečnik kružnice upisane u osnovu pravilne šestostrane piramide je [inlmath]4\:\mbox{cm}[/inlmath].Izračunaj površinu i zapreminu ,ako njena bočna strana sa ravni osnove obrazuje ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]

Hvalaaa unapred<3

Aleksandra je napisao:1. povrsina baze pravilne šestostrane piramide je [inlmath]36\sqrt 3[/inlmath].Izračunaj zapreminu,ako njena bočna strana sa ravni osnove obrazuje ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]

Prvo, dobro nam došla na forum.

A sad da pređemo na posô:

Zapremina piramide data je formulom
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H[/dispmath]
Površina baze [inlmath]B[/inlmath] je poznata, prema tome, potrebno je da odredimo visinu [inlmath]H[/inlmath].

Posmatramo zeleno označen trougao na slici:


Pošto je ovo pravougli trougao kome je jedan ugao [inlmath]60^\circ[/inlmath], možemo ga posmatrati kao polovinu jednakostraničnog trougla, pa će važiti jednakost:
[dispmath]H=h\sqrt 3[/dispmath]
[inlmath]h[/inlmath] predstavlja visinu svakog od šest jednakostraničnih trouglova koji zajedno čine bazu piramide. Površina svakog od tih trouglova je jednaka [inlmath]\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] stranica baze piramide.

Površina baze piramide, koja nam je poznata, jednaka je površini svakog od tih jednakostraničnih trouglova, pomnoženoj sa [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]B=6\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/dispmath]
[dispmath]36\sqrt 3=3\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad a=2\sqrt 6[/dispmath]
Visinu svakog od jednakostraničnih trouglova, [inlmath]h[/inlmath], računamo po formuli
[dispmath]h=\frac{a\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]h=\frac{2\sqrt 6\cdot\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]h=3\sqrt 2[/dispmath]
Visina piramide, [inlmath]H[/inlmath], biće:
[dispmath]H=h\sqrt 3\quad\Rightarrow\quad H=3\sqrt 6[/dispmath]
pa je zapremina piramide jednaka
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H=\frac{1}{3}B\cdot 3\sqrt 6=36\sqrt 3\cdot\sqrt 6=108\sqrt 2[/dispmath]

Aleksandra je napisao:2.Poluprečnik kružnice upisane u osnovu pravilne šestostrane piramide je [inlmath]4\:\mbox{cm}[/inlmath].Izračunaj površinu i zapreminu ,ako njena bočna strana sa ravni osnove obrazuje ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath]

Obeležimo sa [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik upisane kružnice u osnovu piramide, koji je poznat, a sa [inlmath]a[/inlmath] obeležimo stranicu osnove piramide.


Sa slike vidimo da je
[dispmath]r=\frac{a\sqrt 3}{2}[/dispmath]
i odatle nađemo [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]\frac{a\sqrt 3}{2}=4\quad\Rightarrow\quad a=\frac{8\sqrt 3}{3}[/dispmath]
Ako sada nacrtamo sličnu sliku kao u prethodnom zadatku, s tom razlikom da je ovde bočna stranica pod nagibom od [inlmath]45^\circ[/inlmath] u odnosu na ravan osnove, poluprečnik upisane kružnice [inlmath]r[/inlmath] i visina piramide [inlmath]H[/inlmath] biće katete pravouglog trougla koji ima dva ugla od po [inlmath]45^\circ[/inlmath], tj. taj trougao će biti polovina kvadrata, tako da će mu katete biti jednake, tj.
[dispmath]H=r=4[/dispmath]
Površina baze, [inlmath]B[/inlmath], biće jednaka površini šest jednakostraničnih trouglova stranice [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]B=6\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{4}=6\cdot\frac{\frac{64\cdot 3}{9}\sqrt 3}{4}=32\sqrt 3[/dispmath]
Zapreminu piramide možemo odmah izračunati:
[dispmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 32\sqrt 3\cdot 4=\frac{128\sqrt 3}{3}[/dispmath]
Površina piramide biće jednaka zbiru površine baze i površine omotača:
[dispmath]P=B+M[/dispmath]
Površina omotača, [inlmath]M[/inlmath], sastoji se od šest jednakokrakih trouglova čija je osnovica jednaka [inlmath]a[/inlmath], a visina [inlmath]h[/inlmath]. Njihova visina [inlmath]h[/inlmath] predstavlja hipotenuzu malopre razmatranog trougla čije su katete [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath], pa je
[dispmath]h=r\sqrt 2=4\sqrt 2[/dispmath]
Površina svakog od tih trouglova je, prema tome,
[dispmath]\frac{ah}{2}=\frac{\frac{8\sqrt 3}{3}\cdot 4\sqrt 2}{2}=\frac{16\sqrt 6}{3}[/dispmath]
pa će površina omotača, [inlmath]M[/inlmath], biti jednaka toj površini pomnoženoj sa [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]M=6\cdot\frac{16\sqrt 6}{3}=32\sqrt 6[/dispmath]
a površina piramide će biti
[dispmath]P=B+M=32\sqrt 3+32\sqrt 6=32\sqrt 3\left(1+\sqrt 2\right)[/dispmath]

Mnogooo hvaaalaa!
Ne znam stvarno kako da ti zahvalim!

Veliko hvalaa

A evo mene ponovO!
Riješila sam više ovih zadataka kao što su ova dva i jasna su mi. E sad imam ovako,ako možeš da mi pomogneš:
1.Površina većeg dijagonalnog presjeka pravilne šestostrane je piramide je [inlmath]48[/inlmath].Izračunati zapreminu ako je duzina njene visine i duzina veće dijagonale osnove obrazuju razmjeru [inlmath]2:3[/inlmath]
2.duzina bocne ivice je [inlmath]20\:\mbox{cm}[/inlmath].izracunaj povrsinu te piramide ako je kraca dijagonala osnove [inlmath]12\sqrt 3[/inlmath].
e ja sam na ovaj drugi ovako počela. [inlmath]s=20\:\mbox{cm}[/inlmath]. [inlmath]d_1=12\sqrt 3[/inlmath]
[inlmath]d_1=a\sqrt 3[/inlmath] i odavde mi je [inlmath]a=12[/inlmath]. e sad kako da izračunam [inlmath]h[/inlmath] malo.?

Aleksandra je napisao:1.Površina većeg dijagonalnog presjeka pravilne šestostrane je piramide je [inlmath]48[/inlmath].Izračunati zapreminu ako je duzina njene visine i duzina veće dijagonale osnove obrazuju razmjeru [inlmath]2:3[/inlmath]

Sa slike se vidi da je veći dijagonalni presek piramide (obojen žućkasto) jednakokraki trougao osnovice [inlmath]2a[/inlmath] i visine [inlmath]H[/inlmath], gde je [inlmath]a[/inlmath] stranica osnove piramide, a [inlmath]H[/inlmath] visina piramide.

Površina tog trougla, koja je poznata, jednaka je
[dispmath]\frac{\left(2a\right)\cdot H}{2}=48[/dispmath]
Znači,
[dispmath]a\cdot H=48[/dispmath]
i to je jedna jednačina s dve nepoznate.
Drugu jednačinu s dve nepoznate određujemo iz uslova da su visina piramide i veća dijagonala osnove u odnosu [inlmath]2:3[/inlmath].
[dispmath]H:2a=2:3[/dispmath]
[dispmath]3H=4a[/dispmath]
i onda rešiš ovaj sistem od dve jednačine s dve nepoznate i odrediš [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath].
Dobije se [inlmath]a=6[/inlmath], [inlmath]H=8[/inlmath].

I onda imaš sve što je potrebno za računanje zapremine [inlmath]V=\frac{1}{3}B\cdot H[/inlmath].
[inlmath]H[/inlmath] imaš, [inlmath]B[/inlmath] odrediš kao [inlmath]B=6\cdot\frac{a^2\sqrt 3}{4}[/inlmath]...

Aleksandra je napisao:2.duzina bocne ivice je [inlmath]20\:\mbox{cm}[/inlmath].izracunaj povrsinu te piramide ako je kraca dijagonala osnove [inlmath]12\sqrt 3[/inlmath].
e ja sam na ovaj drugi ovako počela. [inlmath]s=20\:\mbox{cm}[/inlmath]. [inlmath]d_1=12\sqrt 3[/inlmath]
[inlmath]d_1=a\sqrt 3[/inlmath] i odavde mi je [inlmath]a=12[/inlmath]. e sad kako da izračunam [inlmath]h[/inlmath] malo.?

Pretpostavljam da je i ovde u pitanju pravilna šestostrana piramida?
Stranicu osnove [inlmath]a[/inlmath] si ispravno odredila.

Što se tiče [inlmath]h[/inlmath],


sa slike se vidi da svaka od bočnih stranica predstavlja jednakokraki trougao čija je osnovica [inlmath]a[/inlmath] a krak [inlmath]s[/inlmath], pa se, kada su poznati [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], može vrlo lako odrediti i visina tog trougla, [inlmath]h[/inlmath], na osnovu Pitagorine teoreme:
[dispmath]h=\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}[/dispmath]
E sad, za [inlmath]h[/inlmath] se dobija prilično nezgrapno rešenje: [inlmath]h=\sqrt{364}[/inlmath]
Donekle ga možeš srediti tako što [inlmath]364[/inlmath] rastaviš na proste faktore, pa ćeš dobiti da je [inlmath]364=2\cdot 2\cdot 7\cdot 13[/inlmath], pa [inlmath]\sqrt{364}[/inlmath] možeš napisati kao:
[dispmath]\sqrt{364}=\sqrt{2\cdot 2\cdot 7\cdot 13}=2\sqrt{7\cdot 13}=2\sqrt{91}[/dispmath]
Ipak, proveri još jednom, za svaki slučaj, da li se u ovom zadatku zaista traži površina piramide a ne, možda, zapremina. Jer, kada bismo računali zapreminu, tada nam [inlmath]h[/inlmath] uopšte ne bi bilo potrebno, već bi nam bila potrebna visina piramide, [inlmath]H[/inlmath], a za nju bi se dobilo sasvim lepo, celobrojno rešenje, [inlmath]H=16[/inlmath]...

Jel mi možete pomoći oko ovog zadatka?
Sve sam probala,ali ne mogu da ga rešim.
Zadatak glasi ovako
1.Izračunaj povšinu pravilne šestostrane piramide ako je ugao izmedju bočne strane i ravni piramde [inlmath]60^\circ[/inlmath] a visina piramide iznosi [inlmath]3\sqrt3[/inlmath]
Znam da trebam da izracunam ivicu , ali ne znam ni kako da počnem zadatak.
Molim vas pomozite mi.
Hvala unapred

Evo kako bih ja urasio, mada ne garantujem da je tačno:
Ovaj ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath] je ugao koji obrazuju visina bočne strane i normala iz centra šestougla na stranicu [inlmath]a[/inlmath]. Dakle, posmatrajmo trougao čije su stranice visna piramide, visina bočne strane i pomenuta normala, tj. visina trougla koji se nalazi u osnovi piramide (pravilan šestougao se sastoji od 6 jednakostraničnih trouglova - otuda i formula za njegovu površinu). Primeniš formulu, recimo za sinus u tom trouglu, i dobićeš da je visina bočne strane [inlmath]6[/inlmath]. Zatim, primenom Pitagorine teoreme dobiješ da je visina onog trougla u osnovi jednaka [inlmath]3[/inlmath]. Pa preko nje nađeš [inlmath]a[/inlmath].
Možda sam negde pogrešio u računu, ali mislim da bi se tako radilo .

Hvala Vam jos jednom,puno Ste mi pomogli.

ali pazi, bocna strana nije sto i ivica... kreni od toga da udaljenost od centra do bocne strane je ustvari visina jednakostranicnog trougla gdje je osnovica [inlmath]a[/inlmath]... iz toga ces moci dobiti osnovicu [inlmath]a[/inlmath] ali i visinu trougla koji obrazuje osnovica [inlmath]a[/inlmath] sa dvije bocne ivice... tu izracunaj bocnu ivicu preko pitagorine teoreme i na kraju ces imati sve potrebno za povrsinu piramide

Bočnu ivicu nije potrebno računati.

Pokazao bih jedan, po meni elegantniji način, za koji nije potrebna ni Pitagorina teorema, ni trigonometrija, već je dovoljno da primenimo ono što znamo o odnosu elemenata unutar jednakostraničnog trougla, tj. [inlmath]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/inlmath].


Uočimo da zeleno obeleženi trougao na slici predstavlja polovinu jednakostraničnog trougla, jer je ugao između jedne njegove katete i hipotenuze [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Samim tim, kateta nalegla na ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath] biće [inlmath]\sqrt3[/inlmath] puta kraća od katete naspramne uglu od [inlmath]60^\circ[/inlmath] (a to je u ovom slučaju poznata visina piramide). Znači, kateta nalegla na ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath] biće [inlmath]\frac{3\sqrt3}{\sqrt3}[/inlmath], tj. biće jednaka [inlmath]3[/inlmath]. Zatim se može uočiti da ta kateta dužine [inlmath]3[/inlmath] predstavlja visinu jednakostraničnog trougla u osnovi. Stranica tog jednakostraničnog trougla je ivica osnove piramide, a pošto je stranica jednakostraničnog trougla [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] puta kraća od njegove visine, dolazimo do toga da je ivica osnove piramide jednaka [inlmath]\frac{2}{\sqrt3}\cdot3[/inlmath], to jest [inlmath]2\sqrt3[/inlmath].

Takođe, radi određivanja visine bočne strane, dovoljno je da uočimo da je kod ovog zelenog trougla hipotenuza dvaput duža od katete nalegle na ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Prema tome, visina bočne strane je [inlmath]2\cdot3[/inlmath], to jest [inlmath]6[/inlmath].

Jasno mi je.
Možete li mi pomoći oko ovog zadatka:
Površina osnovne pravilne šestostrane piramide je [inlmath]54\sqrt3\mbox{ cm}^2[/inlmath] , a površina jedne bočne strane je [inlmath]18\mbox{ cm}^2[/inlmath] . Izračunaj zapreminu piramide.
Izračunala sam preko osnove ivicu i dobila sam da je ona [inlmath]6\mbox{ cm}[/inlmath] . Treba mi još visina, ali ne znam kako da je izračunam. Zbunjuje me ta površina bočne strane, ne znam šta je to i kako se izračunava.
Možete li mi pomoći?
Bila bih vam jako zahvalna

bocna strana ti je jednakokraki trougao gdje su kraci bocne ivice a osnovica je ustvari ivica baze... prvo izracunaj visinu bocne strane a nju ces dobiti preko povrsine i osnovice samo baze(koristi formulu za povrsinu preko visine ([inlmath]\frac{a\cdot h}{2}[/inlmath])... a visinu piramide ces dobiti preko pitagorine teoreme, tj imas tu visinu bocne strane(to je hipotenuza), visinu piramide i normalnu udaljenost centra piramide do bocne strane, a ta udaljenost je visina jednakostranicnog trougla (osnovice [inlmath]a[/inlmath]) zato sto je pravilni sestougao sastavljen od 6 jednakostranicnih trouglova...

Nisam uspela da izracunam visinu bocne stane, jer ne znam kolika mi je povrsina. Jel koristim celu formulu za povrsinu tj. [inlmath]6\frac{a^2\sqrt3}{4}+6\frac{ah}{2}[/inlmath] ili samo [inlmath]\frac{ah}{2}[/inlmath] ?

pa imas povrsinu bocne strane, ona je [inlmath]18\mbox{ cm}^2[/inlmath], a to je proizvod osnovice i visine bocne strane pa sve kroz dva... a kada dobijes visinu bocne strane onda izracunaj visinu tog jednakostranicnog trougla osnovice [inlmath]a[/inlmath] (osnovice tog sestougla sto je baza) i preko pitagorine teoreme izracunaj visinu piramide...

katete su visina piramide i ta visina jednakostranicnog trougla a hipotenuza je visina bocne strane... iz toga izracunas visinu piramide

Razumela sam.
Hvala puno