MATEMANIJA

Neka je [inlmath]a=3[/inlmath], [inlmath]b=7[/inlmath] i površina [inlmath]P=6\sqrt3[/inlmath]. Odrediti [inlmath]c[/inlmath].
Zadatak uopšte nije nešto komplikovan samo sam ga postavio da čujem i vaše mišljenje tj. kako biste ga vi radili i ako ima neka primjedba da naglasite. Mislim kada bih radio preko formule za površinu [inlmath]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/inlmath] pa cosinusna teorema moglo bi se i tako uraditi. Napisaću u drugom postu. Ali nekako meni djeluje jednostavnije preko Heronove formule za površinu trougla. Dobiju se dva rješenja i oba zadovoljavaju uslove nejednakosti trougla.
[dispmath]s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+c}{2}[/dispmath][dispmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/dispmath][dispmath]\left.6\sqrt3=\sqrt{\frac{10+c}{2}\left(\frac{10+c}{2}-3\right)\left(\frac{10+c}{2}-7\right)\left(\frac{10+c}{2}-c\right)}\quad\right/\bigg(\bigg)^2[/dispmath][dispmath]108=\frac{10+c}{2}\cdot\frac{10+c-6}{2}\cdot\frac{10+c-14}{2}\cdot\frac{10+c-2c}{2}[/dispmath][dispmath]1728=(10+c)(10-c)(c+4)(c-4)[/dispmath][dispmath]1728=\left(100-c^2\right)\left(c^2-16\right)[/dispmath][dispmath]1728=100c^2-1600-c^4+16c^2[/dispmath][dispmath]c^4-116c^2+3328=0[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{c=8},\;\cancel{c=-8},\;\enclose{box}{c=2\sqrt{13}},\;\cancel{c=2\sqrt{13}}[/dispmath]

Budući da su te dve formule koje si naveo (Heronov obrazac i [inlmath]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/inlmath]) jedine dve formule u kojima figurišu površina trougla i bar dve njegove stranice (podaci koji su nam u zadatku i poznati), i meni bi pala na pamet ta dva načina. S tim što (možda grešim) postupak preko formule [inlmath]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/inlmath] i kosinusne mi se čini za nijansu jednostavnijim nego preko Herona.

Ipak možda i jeste malo jednostavnije
[dispmath]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/dispmath][dispmath]\sin\gamma=\frac{2P}{ab}[/dispmath][dispmath]\sin\gamma=\frac{12\sqrt3}{21}[/dispmath][dispmath]\sin\gamma=\frac{4\sqrt3}{7}[/dispmath][dispmath]cos^2\gamma=1-\sin^2\gamma[/dispmath][dispmath]\cos^2\gamma=\frac{49}{49}-\frac{48}{49}[/dispmath][dispmath]\cos^2\gamma=\frac{1}{49}[/dispmath][dispmath]\cos\gamma=\pm\frac{1}{7}[/dispmath][dispmath]c^2=9+49-2\cdot3\cdot7\cdot\frac{1}{7}[/dispmath][dispmath]c^2=52[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{c=2\sqrt{13}}[/dispmath][dispmath]c^2=9+49-2\cdot3\cdot7\cdot\frac{-1}{7}[/dispmath][dispmath]c^2=64[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{c=8}[/dispmath]

@Gamma, stvarno su ok oba načina. Setio sam se i svog profesora koji nam je davno pričao da je najbolji način da se uradi neki zadatak ne najbrži ili najelegantniji ili najlepši itd već je to način da se zadatak uradi tačno.

Evo meni pade na pamet i ovakav način (nadam se da ne komplikujem ):
Stavimo jednu tačku trougla, recimo da je nazovem [inlmath]A[/inlmath] u centar koordinatnog sistema. Tačka [inlmath]C[/inlmath] istog trougla neka bude na [inlmath]x[/inlmath] osi, konkretno u tački [inlmath](0,3)[/inlmath]. Sada se postavi centralna kružnica [inlmath]c[/inlmath] poluprečnika [inlmath]7[/inlmath]. "Negde" na toj kružnici je treća tačka trougla, uz uslov da je površina trougla baš ta koja je zadata. Evo i slike:


Eto, sada sam dodao i analitičku geometriju, i vektore...
Pa šta da radim, kada baš istražujemo različite pristupe rešavanju u ovoj temi?

Neverovatno kako slično razmišljamo – baš ovaj analitičkogeometrijski način sam čuvao za kraj, kad prvo rešimo ona dva jednostavnija (standardna) načina.
Inače, s tvojim profesorom se samo delimično slažem – vrlo često je i te kako važno da se zadatak uradi za što kraće vreme (na ispitima pogotovo). Uraditi zadatak tačno samo je potreban uslov da bi način na koji je urađen bio najlepši i najoptimalniji mogući. Ne i dovoljan.

Prikazivanje ovog načina je vrlo korisno jer pruža vizuelnu predstavu zbog čega se u ovom zadatku dobijaju dva moguća rešenja.