MATEMANIJA

Ako zapremina pravilnog tetraedra iznosi [inlmath]27\cdot\sqrt3[/inlmath] izracunati njegovu visinu. Rezultat je [inlmath]6[/inlmath].
Ja sam pokusavala da [inlmath]H[/inlmath] izrazim preko [inlmath]a[/inlmath] i da to zamenim u formulu za zapreminu. [inlmath]H[/inlmath] sam izrazavala preko pravouglih trouglova gde mi je hipotenuza zapravo bocna ivica tj [inlmath]a[/inlmath], a katete su mi [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]\frac{2}{3}h[/inlmath]. Ako moze pomoc, nikako da se snadjem.

Pa upravo tako, dobro si krenula.
– Napiši kako glasi Pitagorina teorema za taj pravougli trougao koji posmatraš.
– Napiši koliko je [inlmath]h[/inlmath] (malo [inlmath]h[/inlmath], tj. visina strane tetraedra) u zavisnosti od ivice tetraedra [inlmath]a[/inlmath].
– Taj izraz za [inlmath]h[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] uvrsti u Pitagorinu teoremu umesto [inlmath]h[/inlmath], malo to sredi i dobićeš jednačinu u kojoj figurišu samo [inlmath]H^2[/inlmath] i [inlmath]a^2[/inlmath].
– Odatle izrazi [inlmath]a^2[/inlmath] u funkciji od [inlmath]H^2[/inlmath] i to uvrsti umesto [inlmath]a^2[/inlmath] u formulu za zapreminu tetraedra.

A sad sam uradila kako treba, ja sam [inlmath]H[/inlmath] izrazavala preko [inlmath]a[/inlmath] umesto obrnuto i to sa kvadratima. Hvala na pomoci!

zlatna ribica je napisao:A sad sam uradila kako treba

Meni je jako drago što si uradila kako treba .
Ja mislim da bi bilo jako lepo sa tvoje strane da taj postupak rađenja kako treba podeliš sa nama, u Latex-u naravno.
No to nije tvoja obaveza, to je stvar tvoje dobre volje ili uopšte volje da pomogneš drugima.
Pozdrav.

[dispmath]27\cdot\sqrt3=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\cdot\sqrt3}{4}\cdot H[/dispmath][dispmath]a^2\cdot H=324[/dispmath]
Kod pravilne trostrane piramide imamo trougao koji je pravougli, sa hipotenuzom [inlmath]S[/inlmath] ( u ovom slucaju, [inlmath]S=a[/inlmath]), a katete su [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]\frac{2}{3}\cdot h[/inlmath]
Koristeci Pitagorinu teoremu, dobijamo:
[dispmath]H^2=a^2-\left(\frac{a\cdot\sqrt3}{3}\right)^2[/dispmath]
Sredjivanjem ovog izraza dobijamo:
[dispmath]a^2=\frac{3\cdot H^2}{2}[/dispmath]
Zamenom dalje imamo:
[dispmath]\frac{3\cdot H^2}{2}\cdot H=324[/dispmath]
Odatle je [inlmath]H^3=216[/inlmath]
[dispmath]\enclose{box}{H=6}[/dispmath]

Alternativno moze se posmatrati i pravougli trougao sa katetama [inlmath]\frac{h}{3}[/inlmath], [inlmath]H[/inlmath] i hipotenuzom [inlmath]h[/inlmath].
[dispmath]H^2=h^2-\left(\frac{h}{3}\right)^2=h^2-\frac{h^2}{9}=\frac{8}{9}h^2=\frac{8}{9}\left(\frac{a\sqrt3}{2}\right)^2=\frac{8}{9}\frac{3a^2}{4}=\frac{2}{3}a^2[/dispmath]