MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2005.
12. zadatak

Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath]. Ako je kosinus nagibnog ugla bočne strane te piramide prema osnovi jednak [inlmath]\frac{3}{5}[/inlmath], onda je zapremina piramide jednaka?
Rešenje je [inlmath]12\text{ cm}^3[/inlmath].

Kako da iskoristim ovaj kosinus? Prema mojoj slici, taj ugao je ugao diedra. Izdvojila sam karakterističan trougao gde mi je hipotenuza visina bočne strane, a katete su visina piramide i [inlmath]\frac{1}{3}h[/inlmath]. I onda mi je kosinus [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{3}{5}[/inlmath]

Bocne strane nisu jednakostranicni trouglovi, to si ti sama izmislila
Jednakokraki su.

Dobices ovo:
[dispmath]H=\frac{2}{9}a\sqrt3\\
V=\frac{a^3}{18}=\frac{216}{18}=12[/dispmath]

Korigovao sam naziv teme, budući da ovde nije u pitanju pravilni tetraedar (kako je u nazivu teme prvobitno pisalo), već pravilna trostrana piramida.

Inace u pitanju je MATF prijemni 2005, ako je bitno.

Zar pravilna trostrana piramida nije tetraedar i nema u osnovi jednakoivicne trouglove?
Ja ne umem da resim, ne znam koji trougao treba da uzmem.

tetraedar je pravilna i jednakoivicna trostrana piramida

Pravilni tetreadar je geometrijsko telo čije su sve četiri strane jednakostranični trouglovi.
Pravilna trostrana piramida je geometrijsko telo čija je osnova jednakostranični trougao, a bočne strane su joj trouglovi. Ako je pravilna trostrana piramida istovremeno i prava (podnožje visine se poklapa sa središtem osnove), tada su njene bočne strane jednakokraki trouglovi. Pravilni tetraedar je samo specijalan slučaj pravilne i prave trostrane piramide.

S druge strane, tetraedar koji nije pravilan isto je što i trostrana piramida koja nije pravilna ili nije prava (ili ni jedno ni drugo).

Dobar si trougao uocila.
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{4}{3}\\
\text{tg }\alpha=\frac{H}{\frac{h}{3}}[/dispmath] Kreni od ovoga.
[inlmath]h[/inlmath] je visina jednakostranicnog trougla stranice [inlmath]a[/inlmath].

Nakon prelistavanja razne literature, moram da dopunim ovaj deo svog posta:

Daniel je napisao:Pravilna trostrana piramida je geometrijsko telo čija je osnova jednakostranični trougao, a bočne strane su joj trouglovi. Ako je pravilna trostrana piramida istovremeno i prava (podnožje visine se poklapa sa središtem osnove), tada su njene bočne strane jednakokraki trouglovi.

Naime, dok jedni autori pojmove pravilna piramida i prava piramida tretiraju kao međusobno nezavisne pojmove (tj. da pravilna piramida može i ne mora biti prava, kao i da prava piramida može i ne mora biti pravilna), drugi autori pod pravilnom piramidom smatraju piramidu čija je osnova pravilan mnogougao i koja je, uz to, i prava piramida – dakle, prema tim autorima, ako je piramida pravilna, podrazumeva se i da je prava.

Zbog ove nedoslednosti među različitim autorima, ako je u zadatku rečeno samo da je piramida pravilna, ostaje nam da pretpostavimo da autor pod time podrazumeva i da je prava (što je najčešće i slučaj). Ako, međutim, u zadatku jasno piše da je piramida pravilna i prava (a ima dosta tako sročenoh zadataka) – tada, srećom, nikakve dvosmislenosti nema.

Naravno, i dalje apsolutno stoji to da pravilna trostrana piramida nije isto što i pravilni tetraedar, tj. da je pravilni tetraedar samo specijalan slučaj pravilne trostrane piramide.