MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 29. jun 2005.
12. zadatak

Dužina osnovne ivice pravilne trostrane piramide je [inlmath]6\text{ cm}[/inlmath]. Ako je kosinus nagibnog ugla bočne strane te piramide prema osnovi jednak [inlmath]\frac{3}{5}[/inlmath], onda je zapremina piramide jednaka?
Rešenje je [inlmath]12\text{ cm}^3[/inlmath].

Kako da iskoristim ovaj kosinus? Prema mojoj slici, taj ugao je ugao diedra. Izdvojila sam karakterističan trougao gde mi je hipotenuza visina bočne strane, a katete su visina piramide i [inlmath]\frac{1}{3}h[/inlmath]. I onda mi je kosinus [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{3}{5}[/inlmath]

Bocne strane nisu jednakostranicni trouglovi, to si ti sama izmislila
Jednakokraki su.

Dobices ovo:
[dispmath]H=\frac{2}{9}a\sqrt3\\
V=\frac{a^3}{18}=\frac{216}{18}=12[/dispmath]

Korigovao sam naziv teme, budući da ovde nije u pitanju pravilni tetraedar (kako je u nazivu teme prvobitno pisalo), već pravilna trostrana piramida.

Inace u pitanju je MATF prijemni 2005, ako je bitno.

Zar pravilna trostrana piramida nije tetraedar i nema u osnovi jednakoivicne trouglove?
Ja ne umem da resim, ne znam koji trougao treba da uzmem.

tetraedar je pravilna i jednakoivicna trostrana piramida

Pravilni tetreadar je geometrijsko telo čije su sve četiri strane jednakostranični trouglovi.
Pravilna trostrana piramida je geometrijsko telo čija je osnova jednakostranični trougao, a bočne strane su joj trouglovi. Ako je pravilna trostrana piramida istovremeno i prava (podnožje visine se poklapa sa središtem osnove), tada su njene bočne strane jednakokraki trouglovi. Pravilni tetraedar je samo specijalan slučaj pravilne i prave trostrane piramide.

S druge strane, tetraedar koji nije pravilan isto je što i trostrana piramida koja nije pravilna ili nije prava (ili ni jedno ni drugo).

Dobar si trougao uocila.
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{4}{3}\\
\text{tg }\alpha=\frac{H}{\frac{h}{3}}[/dispmath] Kreni od ovoga.
[inlmath]h[/inlmath] je visina jednakostranicnog trougla stranice [inlmath]a[/inlmath].

Nakon prelistavanja razne literature, moram da dopunim ovaj deo svog posta:

Daniel je napisao:Pravilna trostrana piramida je geometrijsko telo čija je osnova jednakostranični trougao, a bočne strane su joj trouglovi. Ako je pravilna trostrana piramida istovremeno i prava (podnožje visine se poklapa sa središtem osnove), tada su njene bočne strane jednakokraki trouglovi.

Naime, dok jedni autori pojmove pravilna piramida i prava piramida tretiraju kao međusobno nezavisne pojmove (tj. da pravilna piramida može i ne mora biti prava, kao i da prava piramida može i ne mora biti pravilna), drugi autori pod pravilnom piramidom smatraju piramidu čija je osnova pravilan mnogougao i koja je, uz to, i prava piramida – dakle, prema tim autorima, ako je piramida pravilna, podrazumeva se i da je prava.

Zbog ove nedoslednosti među različitim autorima, ako je u zadatku rečeno samo da je piramida pravilna, ostaje nam da pretpostavimo da autor pod time podrazumeva i da je prava (što je najčešće i slučaj). Ako, međutim, u zadatku jasno piše da je piramida pravilna i prava (a ima dosta tako sročenoh zadataka) – tada, srećom, nikakve dvosmislenosti nema.

Naravno, i dalje apsolutno stoji to da pravilna trostrana piramida nije isto što i pravilni tetraedar, tj. da je pravilni tetraedar samo specijalan slučaj pravilne trostrane piramide.

Ja sam naisla na definiciju da je pravilni tetraedar zapravo jednakoivicna trostrana piramida

To je tacno i nema bas nikakve veze sa ovim zadatkom gde se radi o pravilnoj trostranoj piramidi.

viewtopic.php?f=3&t=1808
Ovde je zadatak sa pravilnim tetraedrom.
Pokusaj da razgranicis sta je sta pre nego sto krenes dalje sa piramidama.

Evo tek sada vidih da se moze raditi i preko tangensa. Ja sam radio tako sto svedem kosinus na sinus. Izracunam vrijednost kosinusa preko sinusa. Postavim dva sistema, jedan Pitagorina teorema a drugi sinus pravouglog trougla. Rijesim i dobijem tacno rjesenje.

zlatna ribica je napisao:Ja sam naisla na definiciju da je pravilni tetraedar zapravo jednakoivicna trostrana piramida

To ti je, zapravo, druga vezija ove definicije koju sam napisao,

Daniel je napisao:Pravilni tetreadar je geometrijsko telo čije su sve četiri strane jednakostranični trouglovi.

Uočavaš li sličnost, tj. povezanost između te dve verzije definicije?

vidim sad, malo sam se izgubila sa svim ovim terminima