MATEMANIJA

Dat je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] i tačke [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] na stranicama [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], takve da je duž [inlmath]DE[/inlmath] paralelna stranici [inlmath]AB[/inlmath]. Ako težište datog trougla pripada duži [inlmath]DE[/inlmath], tada je odnos površina trougla [inlmath]CDE[/inlmath] i trapeza [inlmath]ABED[/inlmath] jednak?
Rešenje [inlmath]4:5[/inlmath]
Nacrtala sam sliku. Znam da težište deli težišnu duž u odnosu [inlmath]2:1[/inlmath], ali ne znam kako to da upotrebim ovde. Dobro bi došle neke smernice kako da rešim

Ja sam dosao do zakljucka da su ova dva trougla slicna i da im je odnos duzina stranica [inlmath]2:3[/inlmath].
Malo mi je pripomogao Tales iz Mileta.

[dispmath]DE=2k\\
AB=3k[/dispmath][dispmath]CS=2t\\
SN=1t[/dispmath][dispmath]P_1=\frac{2k\cdot2t}{2}=2kt\\
P_2=\frac{5k}{2}\cdot t[/dispmath][dispmath]\frac{P_1}{P_2}=\frac{2kt}{2.5kt}=\frac{4}{5}[/dispmath]
uskoro cu nacrtati sliku, samo da se snadjem u ovom programu za crtanje :O

trougao [inlmath]TSC[/inlmath] i trougao [inlmath]MNC[/inlmath] su slicni, sto znaci da je odnos visine trapeza i visine trougla isti kao i odnos [inlmath]CT:TM[/inlmath] a taj odnos vec znamo, [inlmath]CT:TM=2:1[/inlmath]

s obzirom na to da ne treba odnos, potrebno je naci samo odnos izmedju odredjenih stranica koje uticu na povrsinu i izraziti ih preko jedne nepoznate [inlmath](t;k)[/inlmath]

sa slike srednja linija trapeza [inlmath]M=\frac{2k+3k}{2}[/inlmath]
[dispmath]CM:CT=CN:CS=3:2[/dispmath]

^ Po meni, nepotrebno komplikovanje, al' dobro, nije loše da se pokaže i taj način.

Ali, znamo da je kod sličnih trouglova odnos njihovih površina jednak odnosu kvadrata njihovih stranica. To je nešto što nema potrebe izvoditi, to se, jednostavno – zna. Dovoljno je, zato, samo uočiti da težišne linije [inlmath]CT[/inlmath] i [inlmath]CM[/inlmath] stoje u odnosu [inlmath]2:3[/inlmath] i odatle je jasno da površine trouglova [inlmath]\triangle DEC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] stoje u odnosu [inlmath]4:9[/inlmath]...

Ja jednostavno moram da i postom (osim thanksa) pohvalim Sinisu što je krenuo i slike da crta.

^ To svakako.