MATEMANIJA

Mislim da zadatak nije toliko ni bitan ali možda ću rješenje napisati poslije. Glavni problem je skica, poslije ide sve lako. Sve se svodi na kosinusnu teoremu. Nije mi jasno kako je ugao [inlmath]\angle ADC=\pi-\alpha[/inlmath]. Ne vidim uopšte na koju foru da uzvučem tu jednakost a da samo figuriše ugao [inlmath]\alpha[/inlmath].
Zadatak gasi:
Ako su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] paralelne stranice, [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] kraci trapeza, [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] dijagonale trapeza dokazati da je [inlmath]p^2+q^2=c^2+d^2+2ab[/inlmath]

Krak [inlmath]d[/inlmath] zamisli kao dijagonalu jednog pravougaonika

Kojeg pravougaonika? Ja ovde samo vidim kvadrat.

Pisem preko telefona, pa ne mogu da crtam, povuci jednu duz iz tacke [inlmath]A[/inlmath] paralelnu sa visinom trapeza i produzi ovu stranicu [inlmath]b[/inlmath] i dobices taj pravougaonik...

Tako je, ja sam pokušavo da sastavljam ovaj ugao iz tri dijela ali to se poprilično zakomplikuje.

Moze ovako.

Načina kol'ko voliš.


Npr. uglovi [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\angle ADC[/inlmath] su uglovi s paralelnim kracima. Uglovi s paralelnim kracima mogu biti ili jednaki ili suplementni. Suplementni su ako im jedan par paralelnih krakova ima isto usmerenje, a drugi par paralelnih krakova ima suprotno usmerenje, kao što je ovde slučaj. Znači, [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\angle ADC[/inlmath] su suplementni, tj. [inlmath]\alpha+\angle ADC=\pi[/inlmath].

Ili, ako posmatramo četvorougao [inlmath]AFCD[/inlmath]. Znamo da je zbir uglova u četvorouglu jednak [inlmath]2\pi[/inlmath]. Dva ugla četvorougla [inlmath]AFCD[/inlmath] su pravi uglovi, jedan ugao je [inlmath]\alpha[/inlmath], prema tome, koliki mora biti četvrti ugao, [inlmath]\angle ADC[/inlmath]?

Gamma je napisao:Kojeg pravougaonika? Ja ovde samo vidim kvadrat.

Ovde nema kvadrata. Bilo bi, kada bi u zadatku bilo rečeno da je [inlmath]b=h[/inlmath]. Ali, pošto nije...

Hvala svima

[dispmath]p^2=h^2+\left(a-y\right)^2=h^2+a^2-2ay+y^2\\
h^2+y^2=c^2\\
p^2=c^2+a^2-2ay\\
q^2=h^2+\left(a-x\right)^2=h^2+a^2-2ax+x^2\\
h^2+x^2=d^2\\
q^2=d^2+a^2-2ax\\
p^2+q^2=c^2+d^2+2a^2-2a\left(x+y\right)\\
x+y=a-b\\
p^2+q^2=c^2+d^2+2a^2-2a\left(a-b\right)\\
p^2+q^2=c^2+d^2+2a^2-2a^2+2ab\\
p^2+q^2=c^2+d^2+2ab[/dispmath]