MATEMANIJA

Evo imam jedan veoma jednostavn zadatak. Kod kojeg me je zbunio pojam unutrašnja tangenta. Ako neko može da mi razjasni ta dva pojma. Ne mogu to da nađem na netu. Mada i rijetko sam se susretao s tim pojmom. Uvijek je bila tangenta kružnice. Jeste da je ovo sve stvarno jednostavno ali ta dva pojma mi nekako prave problem.

Kružnice poluprečnika [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] dodiruju se spolja u tački [inlmath]T[/inlmath]. Njihova zajednička unutrašnja tangenta siječe spolješnju tangentu u tački [inlmath]A[/inlmath]. Izračunati dužinu duži [inlmath]AT[/inlmath].

Pa, mislim da si mogao i sa same slike da naslutiš šta znači unutrašnja ili spoljašnja tangenta, al' dobro...

Pre svega, kad imamo jednu kružnicu, tada nema smisla govoriti o spoljašnjoj ili unutrašnjoj tangenti, jer je tada međusobni položaj tangente i kružnice uvek isti – kružnica ce mora nalaziti sa samo jedne strane te tangente.

Međutim, kad imamo dve kružnice koje nemaju zajedničkih tačaka, i jedna je izvan druge, kao na slici,


tada možemo povući ukupno četiri prave koje će biti njihove zajedničke tangente.
Kada se obe kružnice nalaze sa iste strane njihove zajedničke tangente, onda za takvu zajedničku tangentu kažemo da je spoljašnja (logično – jer s one druge strane takve tangente ne nalazi se nijedna kružnica) – ima ih dve i na slici su obeležene plavom bojom.
Kada se kružnice nalaze s različitih strana njihove zajedničke tangente, tada za takvu zajedničku tangentu kažemo da je unutrašnja – takođe ih ima dve i na slici su obležene crvenom bojom.

Možemo to posmatrati i ovako – ako zajednička tangenta preseca duž [inlmath]O_1O_2[/inlmath] koja spaja centre ovih kružnica (duž na slici obeležena zeleno), tada je ta tangenta unutrašnja. Ako ne preseca – znači da je spoljašnja.
Tačka preseka unutrašnjih tangenti uvek će se nalaziti na duži [inlmath]O_1O_2[/inlmath] (što se može i dokazati preko podudarnosti trouglova).

Bi umeo sad da odgovoriš koliko će biti spoljašnjih, a koliko unutrašnjih tangenti, u sledećim slučajevima:
– kružnice se seku;
– kružnice se dodiruju spolja;
– kružnice se dodiruju iznutra;
– kružnice su koncentrične;
– kružnice se poklapaju?

U pravu si mogao sam to da zaključim ali ipak sam htio da čujem mišljenje stručnjaka. Mada čini mi se da smo ovo radili u prvome razgredu ali se slabo toga sjećam. Kada je reko unutrašnja ja sam mislio na neku tangentu unutar kružnice
Kada se kružnice sijeku u dvije tačke imamo dvije spolješnje tangente.
Kada se dodoriju spolja imamo dvije spolješne i jednu unutrašnju.
Kada se dodiruju iznutra imamo jednu spolješnu.
Kada su koncentrične nemamo zajedničkih tanganeti.
I kada se poklapaju imamo beskonačno mnogo spolješnih.

Da li je resenje [inlmath]\sqrt2[/inlmath] ?

@bobanex, rjesenje ti je tacno

Uopsteno bi bilo ovako:
[dispmath]AT=\sqrt{r_1r_2}[/dispmath]

Tako je rješenje je [inlmath]\sqrt2[/inlmath]. Dobije se preko sličnosti trouglova.

bobanex je napisao:Uopsteno bi bilo ovako:
[dispmath]AT=\sqrt{r_1r_2}[/dispmath]

Upravo tako, geometrijska sredina.
Možemo do toga doći i tako što uočimo da je [inlmath]\angle O_1AO_2[/inlmath] prav ugao, a zatim pogledamo ovu temu.