MATEMANIJA

Prijemni ispit MATF – 2. jul 2013.
4. zadatak

Dva ugla trougla su [inlmath]45^\circ[/inlmath] i [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Ako je obim trougla [inlmath]6\left(3+\sqrt2+\sqrt3\right)[/inlmath], tada je povrsina trougla jednaka: i tacno resenje je [inlmath]18\left(1+\sqrt3\right)[/inlmath]

hvala unapred

Ajd neću ti uklanjati post, jer si se ipak služio Latexom, ali te molim da svoje pitanje dopuniš u skladu s tačkom 6. Pravilnika.

Znači, dokle si stigao s rešavanjem i šta tačno treba da ti se pomogne?

Nisam napisao nista jer ovde nemam nikakvu ideju, mislio sam nesto preko poluobima al tu nije moglo nista da se skrati. A posto treci ugao je [inlmath]105^\circ[/inlmath] tu nema lep sinus pa ne mogu ni preko sinusne da izrazim strane trougla. Zbog toga sam onda napravio ovde post.

E, upravo takav komentar uvek treba i da napišeš. Sad je OK.

Da, problem pravi taj ugao od [inlmath]105^\circ[/inlmath], ali [inlmath]\sin105^\circ[/inlmath] se može napisati kao [inlmath]\cos15^\circ[/inlmath], a on se onda može izraziti preko formule za kosinus polovine ugla, pa ispadne [inlmath]\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt3}[/inlmath]. Ajd razmisliću još malo o ovome, da l' ima neki elegantniji način...

Može ovako: Recimo da se ugao [inlmath]45^\circ[/inlmath] nalazi kod temena [inlmath]A[/inlmath], a ugao od [inlmath]30^\circ[/inlmath] kod temena [inlmath]B[/inlmath]. Kad si iz sinusne teoreme našao odnos stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], tj. da je [inlmath]a=b\sqrt2[/inlmath], tada sa slike trougla možeš uočiti da je [inlmath]c=b\cos45^\circ+a\cos30^\circ[/inlmath], što daje [inlmath]c=b\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt3\right)[/inlmath].
U izrazu za obim izraziš [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] preko [inlmath]b[/inlmath], nađeš koliko je [inlmath]b[/inlmath], a zatim i ostale dve stranice...

ja sam sve izrazio preko stranice [inlmath]a[/inlmath] jer je ispod nje [inlmath]\sin45^\circ[/inlmath] i onda dobijam da mi je [inlmath]c=a\frac{1+\sqrt3}{2}[/inlmath] i onda se dobijaju stranice i tacno resenje, hvala na svemu!

Pa, dobro, ti si teme kod ugla [inlmath]45^\circ[/inlmath] obeležio sa [inlmath]B[/inlmath], u principu je sve isto, samo je stvar obeleževanja...
Bitno da je zadatak urađen.

Daniel je napisao:Može ovako: Recimo da se ugao [inlmath]45^\circ[/inlmath] nalazi kod temena [inlmath]A[/inlmath], a ugao od [inlmath]30^\circ[/inlmath] kod temena [inlmath]B[/inlmath]. Kad si iz sinusne teoreme našao odnos stranica [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], tj. da je [inlmath]a=b\sqrt2[/inlmath], tada sa slike trougla možeš uočiti da je [inlmath]c=b\cos45^\circ+a\cos30^\circ[/inlmath], što daje [inlmath]c=b\frac{\sqrt2}{2}\left(1+\sqrt3\right)[/inlmath].
U izrazu za obim izraziš [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] preko [inlmath]b[/inlmath], nađeš koliko je [inlmath]b[/inlmath], a zatim i ostale dve stranice...

A kako si dobio ovu jednakost za [inlmath]c[/inlmath] posle sinusne za [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]? Izvinjavam se sto pisem na temi staroj 2 godine al na istom sam zadatku pa da ne pravim novi post.

Nacrtaj sliku trougla (prvo i osnovno).
Spusti visinu na stranicu [inlmath]c[/inlmath].
Podnožje te visine [inlmath]C_1[/inlmath] deliće stranicu [inlmath]c[/inlmath] na dva dela – možeš ih obeležiti sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] (neka [inlmath]AC_1[/inlmath] bude [inlmath]x[/inlmath], a neka [inlmath]BC_1[/inlmath] bude [inlmath]y[/inlmath]).
Naravno, važiće [inlmath]c=x+y[/inlmath].
Posmatrajući pravougli trougao [inlmath]\triangle ACC_1[/inlmath] napiši čemu je jednako [inlmath]\cos45^\circ[/inlmath], a posmatrajući pravougli trougao [inlmath]\triangle BCC_1[/inlmath] napiši čemu je jednako [inlmath]\cos30^\circ[/inlmath].

Hvalaa

Kao prvo, zdravo. I kao drugo, svestan sam da postoji već ovakva tema, ali mi i dalje nije jasno. Potrebna mi je pomoć oko zadatka sa prijemnog sa MATF-a iz 2013. godine. Zadatak glasi ovako:

Dva ugla trougla su [inlmath]45^\circ[/inlmath] i [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Ako je obim trougla [inlmath]6\left(3+\sqrt2+\sqrt3\right)[/inlmath], tada je površina trougla jednaka:
Rešenje je: [inlmath]18\left(1+\sqrt3\right)[/inlmath]

Pokušavao sam zadatak da rešim preko sinusne teoreme, i izrazim sve stranice preko [inlmath]b[/inlmath], zatim opet preko sinusne teoreme nadjem i visinu [inlmath]h[/inlmath], medjutim, ja nikako ne mogu da dobijem traženo rešenje. Kao prvo, pojavljuje mi se [inlmath]\sqrt6[/inlmath] kojeg ne mogu da se rešim. I stvar koja mi najviše govori da ne radim tačno zadatak je to što mi je računica predugačka. Bio bih veoma zahvalan kada bi neko mogao da mi pojasni i pokaže način na koji zadatak treba da se uradi.

Evo i nekog mog odgovora, možda bude od pomoći. Mada je ovde sve dobro objašnjeno.

Neka je, bez umanjenja opštosti, ugao kod temena [inlmath]A[/inlmath] jednak [inlmath]45^\circ[/inlmath], ugao kod temena [inlmath]B[/inlmath] jednak [inlmath]30^\circ[/inlmath], a ugao kod [inlmath]C[/inlmath] jednak [inlmath]105^\circ[/inlmath]. Tada je, na osnovu sinusne teoreme, [inlmath]a=b\sqrt2[/inlmath]. Hoćemo još i dužinu stranice [inlmath]c[/inlmath] da izrazimo preko [inlmath]b[/inlmath]. Ponovo iz sinusne teoreme:
[dispmath]c=2b\sin105^\circ=2b\cos15^\circ=2b\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt3}[/dispmath] Sada smo sve tri stranice trougla izrazili preko [inlmath]b[/inlmath], i sada je, iz obima, lako naći [inlmath]b[/inlmath]. Kako smo našli [inlmath]b[/inlmath], imamo i ostale dve stranice. Dalje je površinu lako naći.

Hvala na odgovoru. Dobio sam ja tacne vrednosti za [inlmath]b[/inlmath] i izrazio [inlmath]c[/inlmath], pa nakon toga i [inlmath]h[/inlmath] jedini problem je bio sto sam "progutao" jedan [inlmath]\sqrt2[/inlmath] u računici i nikako nisam mogao da dobijem tačno rešenje. Kada sam se iznervirao posle drugog puta dobijanja pogrešnog rezultata odradio sam sve 100% postupno i dobio tačno rešenje. Samo me je iznenadilo što, bar putem mog postupka, ima baš mnogo da se računa.

Sada kad nakon toliko godina gledam svoje objašnjenje tog zadatka, ni meni samom nije jasno šta sam kog vraga toliko komplikovao. Sve se može uraditi bez ikakve trigonometrije, uz poznavanje osobina kvadrata i jednakostraničnog trougla, ako se sve stranice izraze preko visine [inlmath]h[/inlmath], povučene na najdužu stranicu:


Izrazi se obim preko [inlmath]h[/inlmath], odatle se odredi [inlmath]h[/inlmath], nakon čega imamo sve što nam je potrebno za određivanje površine.

@ognjen.prica, zaista nema nikakvog razloga jedan isti zadatak razdvajati na različite teme, tako da ću ove dve teme spojiti.