MATEMANIJA

U pravougli trapez cije osnovice imaju duzinu [inlmath]12[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] upisana je kruznica.Duzina poluprecnika te kruznice je?
Resenje je [inlmath]3[/inlmath].
Moja ideja je da se obeleze oni jednaki delovi stranice (pravilo koje vazi kad se krug moze upisati u trapez.Ali ne znam kako do kraja da izrazim

Napiši Pitagorinu teoremu za zelenkasto obeležen trougao na slici:


To će ti biti jedna veza između krakova [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath].

Drugu vezu između krakova [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] dobiješ na osnovu osobine tangentnih četvorouglova.

Ovime si dobio sistem od dve jednačine po dve nepoznate, [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath]. Tebi [inlmath]d[/inlmath] nije potrebno, izračunaj iz tog sistema samo [inlmath]c[/inlmath]. A čim znaš [inlmath]c[/inlmath], znaš i poluprečnik upisane kružnice, [inlmath]r[/inlmath].

Hvala kljucno je da je [inlmath]r[/inlmath] upisane ustvari [inlmath]\frac{c}{2}[/inlmath].To nisam znao.Izvini ja sam te u onoj gore temi pozvao da vidis ovaj zadatak ali ti si ga uradio dok sam pisao to. Hvala doktore matematike!

Posto sam skoro radio ovaj zadatak, osetih se slobodnim da prilozim i svoj postupak
U mom slucaju hipotenuza zelenog trougla je [inlmath]c[/inlmath], a bocnu stranu posmatram kao [inlmath]h[/inlmath], logicnije mi deluje
[dispmath]c^2=8^2+h^2[/dispmath][dispmath]c=\sqrt{64+h^2}[/dispmath]
[dispmath]a+b=h+c[/dispmath][dispmath]12+4=h+\sqrt{64+h^2}[/dispmath][dispmath](16-h)^2=64+h^2[/dispmath][dispmath]192=32h[/dispmath]
[dispmath]h=6[/dispmath]
Naravno, [inlmath]r=3[/inlmath]

Da li u svakom trapezu vazi da je [inlmath]a+b=h+c[/inlmath] ili je to samo u ovom slucaju?

Ta jednakost važi samo ukoliko je trapez istovremeno i tangentni četvorougao.

ena111 je napisao:Da li u svakom trapezu vazi da je [inlmath]a+b=h+c[/inlmath] ili je to samo u ovom slucaju?

Ne kod svakog. Kod običnog trapeza bi važilo [inlmath]a+b=d+c[/inlmath]
Kod jednakokrakog trapeza bi bilo: [inlmath]a+b=2c[/inlmath]
A kod pravouglog bi išlo ovo što sam citirao.
Ako sam pogrešio, ispravite me

Acim je napisao:Kod običnog trapeza bi važilo [inlmath]a+b=d+c[/inlmath]

Malo da ovo pojasnimo. Kod običnog trapeza (ako pod „običnim“ trapezom podrazumevamo trapez u opštem slučaju) ne važi [inlmath]a+b=c+d[/inlmath].
Ta jednakost važi jedino kod tangentnog trapeza (kod onog u koji je moguće upisati krug). I, uopšte, ta jednakost važi ne samo kod tangentnog trapeza, već uopšte kod bilo kog tangentnog četvorougla.
Dakle, kod bilo kog tangentnog četvorougla, zbir dužina dve naspramne stranice jednak je zbiru dužina preostale dve naspramne stranice. Dokaz ovde (linkovah i gore, al' neka ga opet).

Dakle, kod pravouglog bi važilo [inlmath]a+b=h+c[/inlmath] ako i samo ako je taj pravougli trapez istovremeno i tangentni. Ako nije tangentni već samo pravougli – onda ne važi.

Isto tako i kod jednakokrakog važi [inlmath]a+b=2c[/inlmath] akko je taj jednakokraki trapez istovremeno i tangentni – u protivnom ne važi.

Hvala na ispravci, na tangentni četvorougao sam mislio, moja greška.