MATEMANIJA

Pozdrav svima Da preskocim uvod zadatak glasi:

U ostrouglom trouglu zadate su stranice [inlmath]a=1[/inlmath] i [inlmath]b=2[/inlmath] i povrsina [inlmath]P=\frac{12}{13}[/inlmath]. Duzina trece stranice c tog trougla jednaka je...

E sad, pokusao sam da ga resim Heronovom formulom, nije mi uspelo (dobijem jednacinu sa nemogucim brojevima i ne uspevam da je resim (ne nemogucim u smislu iracionalnim, nemogucim u smislu ogromni za racunanje i koren se ne moze izvuci tako da se ne poklapa sa resenjima )). Pokusao sam resavati i najobicnijom jednacinom sa visinama, dobijam odnos visina [inlmath]h_a[/inlmath] i [inlmath]h_b[/inlmath], ali ne mogu da povezem sa [inlmath]c[/inlmath]. Ostao sam bez ideja. Hvala vam unapred

A sta mislis da postavis [inlmath]P=\frac{a\cdot b}{2}\sin\gamma[/inlmath] pa odatle dobijes ugao sinus [inlmath]\gamma[/inlmath], prebacis ga u u [inlmath]\cos[/inlmath] (preko osnovnog trigonometrijskog identiteta) i onda ubacis u kosinusnu teoremu)..

Dobro je, radi nisam znao za tu formulu, dobro je da sam pitao

@kosture, molim te, nemoj „12/13“. Se ne sećaš šta smo se dogovorili za Latex? Mnogo je lepše [inlmath]\frac{12}{13}[/inlmath]. Ispravio sam.

kostur je napisao:Dobro je, radi nisam znao za tu formulu, dobro je da sam pitao

Tu formulu možeš vrlo jednostavno i sâm izvesti, znajući da je [inlmath]P_\triangle=\frac{a\cdot h_a}{2}[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\sin\gamma=\frac{h_a}{b}\;\Rightarrow\;h_a=b\sin\gamma[/inlmath] i uvrštavanjem u formulu za površinu dođeš do [inlmath]P_\triangle=\frac{a\cdot b}{2}\sin\gamma[/inlmath].

---

Ali, što ne bi moglo i preko Herona? Jeste znatno komplikovanije i više posla, ali nije neizvodljivo. Nađeš da je [inlmath]s=\frac{c+3}{2}[/inlmath], pa je
[dispmath]P_\triangle=\sqrt{s\left(s-1\right)\left(s-2\right)\left(s-c\right)}=\sqrt{\frac{c+3}{2}\cdot\frac{c+1}{2}\cdot\frac{c-1}{2}\cdot\frac{3-c}{2}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{4}\sqrt{\left(c^2-1^2\right)\left(3^2-c^2\right)}=\frac{1}{4}\sqrt{\left(c^2-1\right)\left(9-c^2\right)}[/dispmath]
Smena [inlmath]c^2=t[/inlmath],
[dispmath]\left(4P_\triangle\right)^2=\left(t-1\right)\left(9-t\right)=-t^2+10t-9[/dispmath][dispmath]\left.t^2-10t+9+\left(4\cdot\frac{12}{13}\right)^2=0\quad\right/\cdot13^2[/dispmath][dispmath]13^2t^2-13^2\cdot10t+9\cdot13^2+4^4\cdot3^2=0[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{13^2\cdot10\pm\sqrt{13^4\cdot100-4\cdot9\cdot13^4-4^5\cdot3^2\cdot13^2}}{2\cdot13^2}=\frac{13^2\cdot10\pm\sqrt{13^2\cdot4\left(13^2\cdot25-9\cdot13^2-4^4\cdot3^2\right)}}{2\cdot13^2}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{13^\cancel2\cdot\cancel{10}^5\pm\cancel{13}\cdot\cancel2\sqrt{13^2\cdot25-9\cdot13^2-4^4\cdot3^2}}{\cancel2\cdot13^\cancel2}=\frac{13\cdot5\pm\sqrt{13^2\left(25-9\right)-4^4\cdot3^2}}{13}[/dispmath][dispmath]t_{1,2}=\frac{13\cdot5\pm\sqrt{13^2\cdot16-16^2\cdot3^2}}{13}=\frac{13\cdot5\pm4\sqrt{13^2-16\cdot9}}{13}=\frac{13\cdot5\pm4\sqrt{25}}{13}=5\cdot\frac{13\pm4}{13}[/dispmath]
Pošto veća vrednost odgovara tupouglom trouglu, a manja oštrouglom trouglu, uzimamo ovu manju,
[dispmath]t=\frac{45}{13}\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{\frac{45}{13}}=\frac{3\sqrt{65}}{13}[/dispmath]
Znači, bitno je samo ne množiti i ne dobijati one velike brojeve koji stvaraju muke pri računanju i povećavaju mogućnost greške, već sve ostaviti ovako, razloženo na činioce, pa tek na kraju izmnožiti ono što ostane (a kao što vidiš, neće na kraju ostati mnogo toga). Zbog toga sam i pokazao ceo postupak.

Odlicno. Napravio sam gresku koja je sada napomenuta: mnozio sam brojeve Dobijao sam isto korenje, samo u prosirenom (citaj umnozenom) obliku, tu sam odustao hvala vam na pomoci