MATEMANIJA

Probni prijemni ispit FON – 25. jun 2015.
20. zadatak

Duzina hipotenuze [inlmath]AB[/inlmath] pravouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] jednaka je [inlmath]10\text{ cm}[/inlmath], a jedan unutrasnjii ugao trougla jednak je [inlmath]60^\circ[/inlmath]. U dati trougao upisan je pravougaonik maksimalne povrsine tako da je tacka [inlmath]C[/inlmath] jedno teme pravougaonika. Povrsina tog pravougaonika u [inlmath]\text{cm}^2[/inlmath] je:

Resenje: [inlmath]\frac{25}{4}\sqrt3[/inlmath].

Pomocu [inlmath]AB[/inlmath] i odgovarajuceg ugla odredim stranice [inlmath]BC=5\sqrt3[/inlmath] i [inlmath]AC=5[/inlmath], ali ne znam kako dalje. Je l' ovo dalje ide preko slicnosti (posto nisam siguran kako da postavim pravougaonik u trougao)?

Posto treba da izrazimo jednu od te dve stranice a ti si dobijo sve stranice trougla koristicemo proporciju
[dispmath]5:5\sqrt3=a:\left(5\sqrt3-b\right)[/dispmath] i kad imas odatle ili [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath] ubacis u formulu za povrsinu pravougaonika i dobices kvadratnu za izvod koja glasi
[dispmath]5\sqrt3b-b^2[/dispmath]

gore sam lose uradio proporciju jer je kasno treba da
[dispmath]a=\frac{5\sqrt3-b}{\sqrt3}[/dispmath]

@Ilija, pogledaj i ovaj zadatak, po sličnom se principu radi. Imali smo ih još gomilu takvih, al' taj sam na brzinu našao...

Mozes naci druge dvije stranice i zadatak uraditi preko analiticke geometrije (trazis tacku na hipotenuzi, a hipotenuza je prava koja je odredjena sa dva odsjecka)

Hvala svima. Uradio sam.

Ja sam ovo uradio tako što sam iz temena [inlmath]C[/inlmath] povukao liniju do sredine hipotenuze i tako dobio dijagonalu kvadrata čiju sam površinu izračunao. To bi trebalo da je ista površina kao i površina maks. pravougaonika. Da li može tako?

Povlačenjem linije iz temena [inlmath]C[/inlmath] do sredine hipotenuze ne dobija se dijagonala kvadrata (dijagonala kvadrata bi se dobila povlačenjem simetrale ugla kod temena [inlmath]C[/inlmath]).
Ali, da, na taj način koji si opisao, dobio bi se pravougaonik maksimalne površine kakav se i traži u zadatku.
Samo, na osnovu čega možeš biti siguran, bez prethodnog računa, da će baš tako dobijen pravougaonik biti onaj s maksimalnom površinom?

A da li je u redu način da se jednostavno nađe srednja linija trougla (koja je zapravo jedna stranica pravougaonika) pa onda proporcija za drugu stranicu? U slucaju ovog zadatka dobija se resenje koje treba, ali ne znam da li ova metoda moze i za ostale zadatke.

@SkylineGTR
Slično pitanje kao i za prethodnika – na osnovu čega znaš da će srednja linija trougla biti jedna stranica upisanog pravougaonika?
Izjednačavanjem izvoda površine s nulom dolazimo do toga da to jeste tačno, ali kako to uočiti bez korišćenja izvoda?