MATEMANIJA

Molim vas imajte razumijevanja, ne trazim vam da mi uradite zadatak vec da mi kazete gdje grijesim..
Ovako zadatak glasi:
Koliko kvadratnih kilometara povrsine Zemlje vidi kosmonaut iz vjestackog satelita koji se krece na visini od [inlmath]420\text{ km}[/inlmath] iznad Zemljine povrsine? (Uzeti poluprecnik Zemlje [inlmath]r=6300\text{ km}[/inlmath])
Znaci uzima se da je Zemlja loptastog oblika pa se pri posmatranju dobija kalota...
Na vise nacina sam pokusavao uraditi zadatak al' ne ide..
Prvo sam povlacio tangente na loptu pa se dobiju 2 pravougla trougla.. Onda postavljao razmjere, ali nece!
Problem nastaje kada trebam da izracunam visinu (koja mi je potrebna za kalotu) jer ispadne u minusu.
U pravouglom trouglu ispada mi da je hipotenuza manja od katete (poluprecnika zemlje).
Takodje u razmjeri dobijam [inlmath]h[/inlmath] u minusu.
Molim vas objasnite mi gdje grijesim?
Hvala unaprijed.

U naslovu teme si prekršio pravilnik foruma i to tačku 9.
Da i ne pominjem velika slova, tj. vikanje.
Zato temu zaključavam dok drugačije ne odluči moderatorski tim.

Složili smo se da ti temu otključamo, budući da si nov, i da si pitanje postavio na kulturan način, i pored toga što nisi ispoštovao sva forumska pravila.
Ovo „Hitno“ u naslovu si zaista mogao i da izbegneš, al' dobro...
Biće odgovor uskoro. Molim te da, radi budućih postova, pročitaš Pravilnik foruma.
I, da, dobro došao na forum.

Pošto je formula za površinu kalote [inlmath]P=2\pi rh_k[/inlmath], gde je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik sfere (u ovom slučaju poluprečnik Zemlje, koji je poznat), a [inlmath]h_k[/inlmath] visina kalote, tebi je potrebno samo da nađeš [inlmath]h_k[/inlmath] kako bi odredio traženu površinu kalote.

Visinu na kojoj se nalazi satelit iznad Zemljine površine označićemo sa [inlmath]h_s[/inlmath]:


Na osnovu sličnosti trouglova [inlmath]\triangle OPM[/inlmath] i [inlmath]\triangle ONP[/inlmath]:
[dispmath]OP:OM=ON:OP[/dispmath]
pri čemu je (jasno se vidi sa slike):
[inlmath]OP=r\\
OM=r+h_s\\
ON=r-h_k[/inlmath]
Uvrsti sve to u gornju proporciju:
[dispmath]r:\left(r+h_s\right)=\left(r-h_k\right):r[/dispmath]
Sad treba rešiti ovu proporciju po [inlmath]h_k[/inlmath]. Kažeš da tu dobiješ negativno [inlmath]h_k[/inlmath]. Ne znam na koji si način radio, ali dobije se pozitivno [inlmath]h_k[/inlmath]:
[dispmath]r\cdot r=\left(r+h_s\right)\left(r-h_k\right)\quad\Rightarrow\quad r-h_k=\frac{r^2}{r+h_s}\quad\Rightarrow\quad h_k=r-\frac{r^2}{r+h_s}\quad\Rightarrow\quad h_k=\frac{\cancel{r^2}+rh_s-\cancel{r^2}}{r+h_s}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad h_k=\frac{rh_s}{r+h_s}[/dispmath]
Na kraju taj izraz za [inlmath]h_k[/inlmath] uvrsti u formulu za površinu kalote, i dobićeš
[dispmath]P=\frac{2\pi r^2h_s}{r+h_s}[/dispmath]
Uvrštavanjem zadatih brojnih vrednosti za [inlmath]r[/inlmath] i za [inlmath]h_s[/inlmath] dobićeš da je površina kalote [inlmath]P\approx15.586.227\text{ km}^2[/inlmath].

Hvala puno.
P.S. Pridrzavacu se pravila u narednim postovima.