MATEMANIJA

Možete li mi dati ideju na koji način da počnem zadatak: Izračunati površinu trapeza kome su osnovice [inlmath]3[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], a dijagonale [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath]?

Kad povuces dve jednake visine iz tacaka [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] koje padaju na duzu osnovicu, dobijas dva isecka [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Te isecke nalazis tako sto resavas sistem:
[dispmath]x+y=3[/dispmath][dispmath]h^2+(6-y)^2=8^2[/dispmath][dispmath]h^2+(6-x)^2=7^2[/dispmath][dispmath]x=3-y[/dispmath][dispmath]64-(6-x)^2=49-(6-y)^2[/dispmath]
Pazi na minus koji je ispred [inlmath]x[/inlmath] kad uvodis smenu. Zatim mozes da nadjes visinu koja pada na duzu osnovicu preko pitagorine, pa onda pomocu te visine i isecaka preko pitagorine nadjes krake, pa onda povrsinu trapeza nadjes kao zbir povrsina 2 trougla cija je zajednicka stranica jedna od dijagonala trapeza, za povrsine trouglova koristi heronov obrazac.

pentagram142857 je napisao:Zatim mozes da nadjes visinu koja pada na duzu osnovicu preko pitagorine,

...i to je to. Nema nikakve potrebe za daljim komplikovanjem, jer ima sve što je potrebno za izračunavanje površine trapeza – obe osnovice i visinu:
[dispmath]P=\frac{a+b}{2}\cdot h[/dispmath]

---

Ali, kad si već spomenuo Heronov obrazac, prikazao bih i jedan način rešavanja u kojem se isti koristi.
Osnovicu [inlmath]a[/inlmath] trapeza produžimo za dužinu osnovice [inlmath]b[/inlmath], kao na slici:


Sa slike možemo videti da je površina trapeza jednaka
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle ACD}+P_{\triangle ABC}[/dispmath]
pri čemu je [inlmath]P_{\triangle ACD}=P_{\triangle BCE}[/inlmath] (jer ta dva trougla imaju jednake osnovice dužine [inlmath]b[/inlmath], kao i jednake visine na tu osnovicu), iz čega sledi
[dispmath]P_{ABCD}=P_{\triangle BCE}+P_{\triangle ABC}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{P_{ABCD}=P_{\triangle ACE}}[/dispmath]
Znači, površina traženog trapeza jednaka je površini trougla [inlmath]\triangle ACE[/inlmath], a njegovu površinu lako odredimo preko Heronovog obrasca pošto znamo sve tri njegove stranice ([inlmath]a+b[/inlmath], [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath]).

Odlično, BRAVO!

Doduše

Daniel je napisao:[dispmath]P_{\triangle ABCD}=P_{\triangle ACD}+P_{\triangle ABC}[/dispmath]

ABCD nije trougao, pa ne treba \triangle , ali nije greda. Viđao sam u knjigama da "nacrtaju" i trapez, ali zaista nema potrebe, ako je površina u pitanju davati ikakvu "grafiku", jer je dovoljno nabrojati spisak temena. Dakle ovde bih napisao [inlmath]P_{ABCD}=P_{ACD}+P_{ABC}[/inlmath]

Možemo i malo drugačije dokazati. Trapez kome osnovice leže na paralelnim pravama (pleonazam sic!) ima konstantnu površinu sve dok je zbir osnovica konstantan, a granični slučaj takvih trapeza su trouglovi ("levi" i "desni", koji se "poklapabilni" ). Štaviše (ne ne može "čak, šta više" jer je pleonazam) dijagonale su im takođe konstantne dužine i pravca. (Trogao se može posmatrati i kao trapez, čija je jedna stranica =0 .)

No, novi zadatak je, dokazati da su trouglovi koje presečna tačka dijagonala trapeza formira sa krakovima trapeza jednakih površina. Daniel je implicite već dao to rešenje, pa bi ovaj zadatak bio zanimljiv za "početnike" da bi se malo udubili u to šta sve im jedan zadatak donosi.

Način tj. ideja koju je dao Daniel je genijalna i vredi je zapamtiti!

Bilo bi oko ovog zadatka još "lepih" opažanja, ali mi se ne da prepevavati kodove iz Open/Libre Office.Math u ovdašnji LaTeX .

Vule je napisao:Doduše

Daniel je napisao:[dispmath]P_{\triangle ABCD}=P_{\triangle ACD}+P_{\triangle ABC}[/dispmath]

ABCD nije trougao, pa ne treba \triangle , ali nije greda.

Istina. To mi sasvim promaklo. Ispravio sam, hvala na opažanju.
(Trougliće kod trouglova sam ostavio, ništa ne smetaju, dok za trapez, nažalost, ne postoji simbol u Latexu.)

A jedinstvenost pisanja? Tj. u matematici kad napišemo nešto to mora biti nužno, i nema podvajanja. Recimo recenzent (kada bi slao nešto slično u kakav ne nužno matematički žurnal, može i tehniočki) bi ti napisao "Zašto pišete trougao ako je jasno da je površina trougla, već iz [inlmath]P_{ABC}[/inlmath]? Imate li neki poseban razlog koji ja ne vidim? " I da ne davim, jer sam siguran da znaš o čemu govorim... Tipična greška koja nam se dešava zbog copy/paste, koja nam se svima dešava.

Nego da dam i sliku, zadatak je zanimljiviji od strogosti zapisa

Vule je napisao:A jedinstvenost pisanja? Tj. u matematici kad napišemo nešto to mora biti nužno, i nema podvajanja. Recimo recenzent (kada bi slao nešto slično u kakav ne nužno matematički žurnal, može i tehniočki...

A šta bi na ovo rekao recenzent?

Hvala (Daniele, pretpostavljam da si ti zaslužan) za UL slike (neznam sam to da odradim ).

Dakle, teme [inlmath]C_l[/inlmath] „kliza u levo“ od [inlmath]C[/inlmath] do [inlmath]D[/inlmath], istovremeno jednakom brzinom kliza teme [inlmath]A_l[/inlmath] od [inlmath]A[/inlmath] do [inlmath]A_L[/inlmath].
Trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] se preko trapeza (množina) [inlmath]A_lBC_lD[/inlmath] deformiše u trogao [inlmath]\triangle_{A_LBC_L=D}[/inlmath].

Analogno
Dakle, teme [inlmath]D_r[/inlmath] „kliza u desno“ od [inlmath]D[/inlmath] do [inlmath]C[/inlmath], istovremeno jednakom brzinom kliza teme [inlmath]B_r[/inlmath] od [inlmath]B[/inlmath] do [inlmath]B_R[/inlmath].
Trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] se preko trapeza (množina) [inlmath]AB_rCD_r[/inlmath] deformiše u trogao [inlmath]\triangle_{A_LBC=D_R}[/inlmath].

Svi ovi trapezi (uključujući dva granična podudarna trougla) imaju i istu površinu i iste dijagonale. A još bi se mogli (opštosti radi) "igrati" i sa [inlmath]a_1[/inlmath], tako da i ona postaje [inlmath]=0[/inlmath] ali ne bismo dobili ništa što već ne znamo.

Miladin Jovic je napisao:

Vule je napisao:A jedinstvenost pisanja? Tj. u matematici kad napišemo nešto to mora biti nužno, i nema podvajanja. Recimo recenzent (kada bi slao nešto slično u kakav ne nužno matematički žurnal, može i tehniočki...

A šta bi na ovo rekao recenzent?

Verovatno bi prevideo, ali bi lektor ili neki proofreader već nešto rekao. A ja bih ti rekao i evo kažem ti: Hvala!