MATEMANIJA

Nisam strucnjak za geometriju, tako da mi treba vodic za resavanje ovog zadatka.
[inlmath]14.[/inlmath] U valjak precnika osnove [inlmath]14\sqrt3\text{ cm}[/inlmath] i visine [inlmath]20\text{ cm}[/inlmath] upisana je prava trostrana prizma cija je osnova je trougao [inlmath]ABC[/inlmath] cija je stranica [inlmath]BC=9\text{ cm}[/inlmath], a ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] je [inlmath]120^\circ[/inlmath]. Zapremina prizme je:

Sad, mene ne zanima povrsina prizme nego nacin odredjivanja stranica.
Pokusao sam prvo sa sinusnom teoremom, tj [inlmath]\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=2R[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\frac{\overline{AC}}{\sin120^\circ}=14\sqrt3\\
\overline{AC}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot14\sqrt3\\
\overline{AC}=21\text{ cm}[/dispmath]
Koristim ponovo sinusnu teoremu
[dispmath]\Rightarrow\;\frac{9}{\sin\alpha}=14\sqrt3\\
\sin\alpha=\frac{9}{14\sqrt3}\\
\sin\alpha=\frac{3\sqrt3}{14}[/dispmath]
sada je poznato:
[inlmath]\overline{AC}=21\text{ cm}\\
\overline{BC}=9\text{ cm}\\
R=14\sqrt3\text{ cm}\\
\beta=120^\circ\\
\displaystyle\alpha=\arcsin\left(\frac{3\sqrt3}{14}\right)[/inlmath]

Da li je ovo do sad tacno ?
Kako da dodjem do stranice [inlmath]AB[/inlmath]?

došao si do ovoga
[dispmath]\sin\alpha=\frac{3\sqrt3}{14}[/dispmath]
i to je sve dobro, samo ti ne treba koliko je [inlmath]\alpha[/inlmath], već se malo poigraš sa trećim uglom i napišeš da je
[dispmath]\gamma=180-(\alpha+\beta)\\
\Rightarrow\;\sin\gamma=\sin\bigl(180^\circ-(\alpha +\beta)\bigr)=\sin(60^\circ-\alpha)\\
\beta=120^\circ[/dispmath]
rastaviš [inlmath]\sin(60^\circ-\alpha)[/inlmath] pomoću [inlmath]\sin\left(\alpha\pm\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]
a [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] nađeš preko [inlmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/inlmath]

vjerujem da sad znaš kako ćeš izračunati [inlmath]\overline{AB}[/inlmath]

Moze i na drugi nacin:


Povuces visinu iz tacke [inlmath]C[/inlmath], zatim vidis da je [inlmath]BD=4,5[/inlmath] i [inlmath]CD=4,5\sqrt3[/inlmath], onda [inlmath]AD[/inlmath] nadjes preko pitagorine, pa onda nadjes povrsine trouglova [inlmath]CBD[/inlmath] i [inlmath]CAD[/inlmath], pa onda oduzmes te dve povrsine da bi nasao povrsinu trougla [inlmath]ABC[/inlmath], pa onda primenis formulu [inlmath]\displaystyle P=\frac{abc}{4R}[/inlmath]

@Herien Wolf
Nema potrebe za petljanje s uglom [inlmath]\alpha[/inlmath] niti s njegovim sinusom. Kad si odredio [inlmath]\overline{AC}[/inlmath], imaš dve stranice trougla i jedan njegov ugao – prava situacija za primenu kosinusne teoreme:
[dispmath]\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cos\beta[/dispmath]

pentagram142857 je napisao:Povuces visinu iz tacke [inlmath]C[/inlmath], zatim vidis da je [inlmath]BD=4,5[/inlmath] i [inlmath]CD=4,5\sqrt3[/inlmath], onda [inlmath]AD[/inlmath] nadjes preko pitagorine, pa onda nadjes povrsine trouglova [inlmath]CBD[/inlmath] i [inlmath]CAD[/inlmath], pa onda oduzmes te dve povrsine da bi nasao povrsinu trougla [inlmath]ABC[/inlmath], pa onda primenis formulu [inlmath]\displaystyle P=\frac{abc}{4R}[/inlmath]

Ovo je sjajno rešenje, veoma mi se svidelo! S tim da, nakon nalaženja stranice [inlmath]\overline{AB}[/inlmath] (kao [inlmath]\overline{AD}-\overline{BD}[/inlmath]), nije potrebno tražiti površine trouglova [inlmath]\triangle CBD[/inlmath] i [inlmath]\triangle CAD[/inlmath], već površinu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] možemo naći, bilo kao [inlmath]\displaystyle\frac{1}{2}\overline{AB}\cdot\overline{CD}[/inlmath], bilo preko Heronovog obrasca budući da su nam poznate sve njegove stranice.

Hvala svima