MATEMANIJA

U zarubljenu kupu poluprecnika vece osnove [inlmath]4[/inlmath], upisana je lopta zapremine [inlmath]V=36\pi[/inlmath] Kolika je zapremina zarubljene kupe? Hvala unapred

Nasao sam preko zapremine lopte da je poluprecnik lopte [inlmath]3[/inlmath], i ako sam dobro nacrtao sliku onda bi trebalo da je visina zarubljene kupe jednaka precniku lopte tj. [inlmath]6[/inlmath]. E, sad ne znam kako da nadjem poluprecnik manje osnove zarubljene kupe. Zapreminu cu lako naci pod uslovom da je tacno ovo sto sam gore napisao - [inlmath]2R_{l.}=H_{z.k.}[/inlmath]

Da, tačno si odredio poluprečnik upisane lopte i tačno si odredio visinu zaljubljene, pardon, zarubljene kupe.

E sad, da bismo odredili poluprečnik manje osnove, posmatramo sliku:


Posmatramo trougao [inlmath]\triangle BCC'[/inlmath]. Katetu [inlmath]CC'[/inlmath] znamo, ona iznosi [inlmath]6[/inlmath]. Kateta [inlmath]BC'[/inlmath] će biti [inlmath]4-r[/inlmath], gde je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik manje osnove. Hipotenuza [inlmath]BC[/inlmath] predstavlja izvodnicu kupe, obeležimo je sa [inlmath]s[/inlmath]. Primenimo Pitagorinu teoremu na taj trougao:
[dispmath]6^2+\left(4-r\right)^2=s^2\qquad\left(1\right)[/dispmath]
Posmatramo sada trouglove [inlmath]\triangle OBQ[/inlmath] i [inlmath]\triangle OBR[/inlmath], kao i [inlmath]\triangle OPC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ORC[/inlmath]. Trouglovi [inlmath]\triangle OBQ[/inlmath] i [inlmath]\triangle OBR[/inlmath] su podudarni, iz čega sledi da je [inlmath]\overline{BQ}=\overline{BR}[/inlmath]. Takođe, trouglovi [inlmath]\triangle OPC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ORC[/inlmath] su podudarni, iz čega sledi da je [inlmath]\overline{PC}=\overline{RC}[/inlmath]. Dužina izvodnice [inlmath]s[/inlmath] jednaka je:
[dispmath]s=\overline{BC}=\overline{BR}+\overline{RC}=\overline{BQ}+\overline{PC}=4+r\qquad\left(2\right)[/dispmath]
Na osnovu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]6^2+\left(4-r\right)^2=\left(4+r\right)^2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]r=\frac{9}{4}[/dispmath]

Hvala najlepse Ispada da je [inlmath]s=m[/inlmath] tj. srednjoj liniji trapeza. E sad ne znam da li je uvek [inlmath]s=m[/inlmath] kada je u zarubljenu kupu upisana lopta ili je to slucajnost? Ako je to pravilo onda se brze resi zadatak jer znamo da je [inlmath]m=\frac{2r+2R}{2}=\frac{2(r+4)}{2}=4+r[/inlmath] - isto koliko si ti dobio da je [inlmath]s[/inlmath]

Daniel je napisao:zaljubljene, pardon, zarubljene kupe.

Pa, da. Posmatrajući istu onu sliku iz mog prethodnog posta, lako se dokaže da je kod jednakokrakog tangentnog trapeza dužina kraka jednaka dužini srednje linije:[dispmath]c=d=\overline{AD}=\overline{BC}=\overline{BR}+\overline{RC}=\overline{BQ}+\overline{PC}=\frac{1}{2}\overline{AB}+\frac{1}{2}\overline{CD}=\frac{\overline{AB}+\overline{CD}}{2}=m[/dispmath]

Naravno, u ovom izvođenju neke stvari su preskočene, recimo, treba dokazati i da je [inlmath]\overline{BQ}=\frac{1}{2}\overline{AB}[/inlmath], ali to su već detalji za koje je dokaz trivijalan...

E sad, nisam siguran da li se na testu priznaje ako kažeš da je ova osobina opštepoznata i uzmeš je zdravo za gotovo, ili se ipak traži da se i to izvede...

Pa da to se i ja pitam. Ipak, sigurnije mi je da se drzim tvog postupka - da ne skidaju poene bezveze

Ono sto meni nije jasno ovde je kolika je zapremina. Ako je formula:
[dispmath]V=\frac{H\cdot\pi}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)[/dispmath]
Ja dobijam da je resenje [inlmath]2\left(16+9+{81\over16}\right)=\frac{281\pi}{8}[/inlmath], a oni su zaokruzili [inlmath]\frac{481\pi}{8}[/inlmath]

lowzyyy je napisao:[inlmath]2\left(16+9+{81\over16}\right)=\frac{281\pi}{8}[/inlmath]

Proveri ovo još jednom...

Haha ne verujem, skratio sam dva sa 16 nerazmisljajuci da je ovo u zagradi. Vreme je za spavanje...