MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 3. septembar 2009.
12. zadatak

Odnos poluprecnika osnove i visine pravog valjka koji pri datoj zapremini ima najmanju povrsinu iznosi?
Resenje je [inlmath]1:2[/inlmath]

E sad, posto nisam bas sjajan matematicar resio sam ovaj zadatak na malo neobican nacin
Kaze pri datoj zapremini, i ja sam uzeo proizvoljnu vrednost [inlmath]V=16\pi[/inlmath]
[dispmath]16\pi=r^2\pi\cdot H[/dispmath][dispmath]H=\frac{16}{r^2}[/dispmath]
[dispmath]P=2r\pi(r+H)[/dispmath][dispmath]P=2r^2+\frac{32}{r}[/dispmath][dispmath]P=\left(\frac{2r^3+32}{r}\right)[/dispmath] Izvod dakle,
[dispmath]P=\left(\frac{2r^3+32}{r}\right)'=0[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(2r^3+32\right)'r-\left(2r^3+32\right)r}{r^2}=0[/dispmath][dispmath]4r^3-32=0[/dispmath][dispmath]r^3=8[/dispmath][dispmath]r=2[/dispmath]
[dispmath]H=\frac{16}{r^2}=4[/dispmath]
[dispmath]r:H=2:4[/dispmath]
[dispmath]r:H=1:2[/dispmath] To je to, ako ima gresaka ispravite
P.S. izostavio sam [inlmath]\pi[/inlmath] jer nebitan kod izvoda. I da, u nedoumici sam sta da je pisalo maksimalna (najveca) povrsina.

[dispmath]P=2r^2\pi+\frac{2V}{r}\\
P'=4r\pi-\frac{2V}{r^2}\\
P'=0\\
V=2{r^3}\pi\\
r^2\pi H=2r^3\pi\\
H=2r[/dispmath]

Može se to direktno riješiti bez uzimanja određene vrijednosti za zapreminu i to istim postupkom ko
znamo da je
[dispmath]V=r^2\pi\cdot H\;\Rightarrow\;H=\frac{V}{r^2\pi}\\
P=2r^2\pi+2r\pi H[/dispmath] uvrtašavanjem izraza za [inlmath]H[/inlmath] koji smo izvukli iz zapremine dobijamo
[dispmath]P=2r^2\pi+\frac{2V}{r}[/dispmath] dalje deriviranjem izraza po [inlmath]r[/inlmath] dobijemo
[dispmath]4r\pi-\frac{2V}{r^2}=0\\
4r\pi=\frac{2V}{r^2}[/dispmath] sad umjesto [inlmath]V[/inlmath] uvrstimo izraz za zapreminu
i dobijemo
[dispmath]4r\pi=\frac{2\cancel{r^2}\pi H}{\cancel{r^2}}\\
4r\cancel\pi=2\cancel\pi H\\
4r=2H\\
H=2r[/dispmath] i time smo dobili da je odnos
[dispmath]r:H=1:2[/dispmath]

Aha znaci ipak je to to, a sta je sa maksimalnom povrsinom, sta da je glasio tako zadatak

JohnLocke je napisao:E sad, posto nisam bas sjajan matematicar resio sam ovaj zadatak na malo neobican nacin
Kaze pri datoj zapremini, i ja sam uzeo proizvoljnu vrednost [inlmath]V=16\pi[/inlmath]

Na taj način si pokazao da je odnos [inlmath]r:H[/inlmath] jednak [inlmath]1:2[/inlmath] onda kada je [inlmath]V=16\pi[/inlmath], ali nisi pokazao da taj odnos važi i za bilo koju fiksiranu vrednost zapremine. Zbog toga tvoje rešenje nije sasvim validno i ne preporučujem ti da radiš na taj način, već ovako kako ti je bole pokazao.

JohnLocke je napisao:[dispmath]P=2r^2+\frac{32}{r}[/dispmath][dispmath]P=\left(\frac{2r^3+32}{r}\right)[/dispmath] Izvod dakle,
[dispmath]P=\left(\frac{2r^3+32}{r}\right)'=0[/dispmath]

Zar ti nije bilo lakše da odmah računaš izvod izraza [inlmath]\displaystyle P=2r^2+\frac{32}{r}[/inlmath], dakle bez svođenja na zajednički imenilac? [inlmath]\displaystyle P'=4r-\frac{32}{r^2}[/inlmath] – eto, čas posla.
Svođenjem na zajednički imenilac morao si da ga računaš kao izvod količnika, što je nepotrebno komplikovanje.

JohnLocke je napisao:Izvod dakle,
[dispmath]P=\left(\frac{2r^3 +32}{r}\right)'=0[/dispmath]
[dispmath]\frac{\left(2r^3+32\right)'r-\left(2r^3+32\right)r}{r^2}=0[/dispmath]

Zaboravio si „prim“ kod poslednjeg [inlmath]r[/inlmath] u brojiocu, dakle, treba [inlmath]\displaystyle\frac{\left(2r^3+32\right)'r-\left(2r^3+32\right)r{\color{red}'}}{r^2}=0[/inlmath], mada je očigledno da je to samo greška u kucanju budući da je već naredni korak ispravno napisan. Al' eto, čisto da napomenem.

JohnLocke je napisao:P.S. izostavio sam [inlmath]\pi[/inlmath] jer nebitan kod izvoda.

Ne preporučujem ti da to radiš. Ako profesor koji to pregleda drži do ispravnosti zapisa (što lično smatram da bi trebalo da čini), tretiraće ti to kao grešku. Broja [inlmath]\pi[/inlmath] (ili bilo koje konstante) možeš se osloboditi tek nakon izjednačavanja izvoda s nulom, jer tada obe strane jednačine možeš pomnožiti ili podeliti bilo kojom konstantom različitom od nule.

JohnLocke je napisao:Aha znaci ipak je to to, a sta je sa maksimalnom povrsinom, sta da je glasio tako zadatak

Zadatak nije mogao tako glasiti, jer pri fiksiranoj zapremini maksimalna površina ne postoji, postoji samo minimalna:
[dispmath]\begin{cases}
V=\pi r^2H\\
P=2\pi r(r+H)
\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad P=2\pi r^2+\frac{2V}{r}=ar^2+\frac{b}{r}[/dispmath] Prema tome, pri fiksiranoj zapremini, površina predstavlja neku funkciju po [inlmath]r[/inlmath]. Odmah vidimo da će za [inlmath]r\to0[/inlmath] prvi sabirak težiti nuli dok će drugi težiti beskonačnosti, prema tome, površina će težiti beskonačnosti. Takođe, vidimo da će za [inlmath]r\to+\infty[/inlmath] prvi sabirak težiti beskonačnosti dok će drugi težiti nuli, pa će površina opet težiti beskonačnosti. Ako ovakvu funkciju analiziramo i nacrtamo njen grafik, on će izgledati ovako:


Prema tome, postojaće neki poluprečnik osnove [inlmath]r_T[/inlmath] za koji će površina takvog valjka biti minimalna, ali maksimum površine ne postoji, budući da površina može ići u beskonačnost.

Možeš to posmatrati i ovako. Kako zapreminu valjka održavamo konstantnom, pri porastu poluprečnika osnove povećavaće se površina osnove a visina valjka će se smanjivati i imaćemo jedan disk koji će se sve više stanjivati, dok će mu poluprečnik (samim tim i površina) sve više rasti, do beskonačnosti. Kod takvog tela glavni deo površine će činiti gornja i donja osnova, dok će površina omotača biti zanemarljiva.
Ako krenemo u suprotnom smeru, tako da smanjujemo poluprečnik osnove a povećavamo visinu, valjak će poprimiti oblik sve tanje i tanje žice i kod nje će glavni deo površine biti upravo površina omotača, dok će površina gornje i donje osnove biti zanemarljive. Kako visina raste u beskonačnost, rašće u beskonačnost i površina omotača, a samim tim i površina takvog valjka (da ne kažem žice).

Ovaj zadatak je bio pre 12-13 godina na nekom probnom na FON-u. Nešto slično su dali ove godine, težak je, i ja sam uspeo donekle da ga odradim. Ako neko uvidi grešku, ili uvidi neki jednostavniji način, obavezno neka javi.

Zadatak glasi: Odnos poluprečnika osnove i visine pravog valjka koji pri datoj zapremnini ima najmanju površinu iznosi:

Prve ideju su da iz zapremnine valjka izrazim visinu koja mi deluje pogodnija za izražavanje u ovom slučaju, i da iz površine izvučem sve konstante ispred zagrade. To izgleda ovako:
[dispmath]H=\frac{V}{r^2\cdot\pi}\\
P=2\cdot\pi\cdot\left(r^2+\frac{V}{r\cdot\pi}\right)[/dispmath] E sad, ovo iz zagrade stavim na zajedniču razlomačku crtu:
[dispmath]\frac{r^3+V}{r}[/dispmath] Prvi izvod funkcije izjednačim sa nulom:
[dispmath]\frac{\left(r^3+V\right)'\cdot(r)-(r)'\cdot\left(r^3+V\right)}{r^2}=0\\
\frac{3\cdot r^2\cdot r-r^3-V}{r^2}=0[/dispmath] Iz ovoga svega sledi:
[dispmath]r^3=\frac{V}{2}[/dispmath] I šta sad dalje? Postoji li način da dobije neko jednostavnije rešenje, ili moram muku da mučim sa ovim korenovanjem?

Iako se za visinu i poluprecnik dobiju, da tako kazem ruzna resenja za koju je povrsina minimalna (uz zapreminu koja je data), sve se to lepo pokrati, pri racunanju odnosa. Dobijem da je:
[dispmath]H=\frac{\sqrt[3]{4V}}{\sqrt[3]{\pi}}\\\
\\\
r=\frac{\sqrt[3]{V}}{\sqrt[3]{2\pi}}[/dispmath] sto za odnos daje [inlmath]1:2[/inlmath].

@samaras7, kad pišeš izraze/jednačine u zasebnom redu, bolje je da koristiš equation-tagove. Kada koristiš inlinemath-tagove, bude mnogo sitno. Sad sam to korigovao i složićeš se da je ovako bolje.

samaras7 je napisao:Zadatak glasi: Odnos poluprečnika osnove i visine pravog valjka koji pri datoj zapremnini ima najmanju površinu iznosi:
Prve ideju su da iz zapremnine valjka izrazim visinu koja mi deluje pogodnija za izražavanje u ovom slučaju,

Zapremina, a ne zapremnina.

samaras7 je napisao:[dispmath]P=2\cdot\pi\cdot\left(r^2+\frac{V}{r\cdot\pi}\right)[/dispmath] E sad, ovo iz zagrade stavim na zajedniču razlomačku crtu:
[dispmath]\frac{r^3+V}{r}[/dispmath]

A di ti je nestalo ono [inlmath]\pi[/inlmath] iz imenioca drugog sabirka?
Zbog ove greške si na kraju dobio [inlmath]r^3=\frac{V}{2}[/inlmath] umesto [inlmath]r^3=\frac{V}{2\pi}[/inlmath].

Druga stvar, lakše ti je da tražiš izvod po [inlmath]r[/inlmath] kad je izraz u zagradi napisan u obliku dva sabirka. Tada samo računaš izvod zbira funkcija, a ako ih svedeš na zajednički imenilac, kao što si radio, onda se tu nepotrebno petljaš s izvodom količnika.

Ovaj zadatak je već rješavan na forumu u temi

@Ilija nema potrebe da se izražava i [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] bar tako kako si ti izrazio [inlmath]H[/inlmath] samo se možemo zapetljati
a ovako kako je @samaras7 krenuo trebalo samo iz [inlmath]r^3=\frac{V}{2\cdot\pi}[/inlmath] izraziti [inlmath]V[/inlmath] i imali bi
[dispmath]V=2\cdot\pi\cdot r^3[/dispmath] to se zatim vrati u izraz
[dispmath]H=\frac{V}{r^2\cdot\pi}[/dispmath] i dobijamo da je
[dispmath]H=2\cdot r[/dispmath]

U redu, izvinjavam se za gramatiku, i to gutanje delova.
A Latex još uvek savladavam, tako da mi je svaki savet dobrodošao. Još jednom hvala, i izvinjavam se.

Bitno je da su svi ponudjeni nacini tacni, a sad ko sta voli nek primenjuje.