MATEMANIJA

Imam zadatak sledece sadrzine, ciji me tekst zbunjuje...

Jednakostranican trougao stranice [inlmath]a=2\text{ cm}[/inlmath] rotira oko prave koja je normalna na osnovicu trougla i sadrzi jedno teme te osnovice trougla. Zapremina nastalog obrtnog tela jednaka je (u [inlmath]\text{cm}^3[/inlmath])?
Resenje: [inlmath]2\sqrt3\pi\text{ cm}^3[/inlmath].

Crtao sam sliku, ali ocigledno pogresno...gde treba da se nalazi ta prava u odnosu na trougao? To mi samo nije jasno.

Evo, ovako.

Zahvaljujem...sad kad vidim, deluje tako ocigledno, ali dok radim jednostavno ne mogu da skapiram sliku.

Dakle, ovo je zarubljena kupa koja je busna odozgo - odnosno od zapremine zarubljene kupe treba da oduzmemo zapreminu kupe okrenute vrhom na dole.

---

Sto se tice zarubljene, veca osnova ima poluprecik [inlmath]R[/inlmath] koji je jednak stranici trougla, a manja poluprecnik [inlmath]r[/inlmath] jednak polovini stranice trougla. Visina kupe [inlmath]H[/inlmath] jednaka je visini datog jednakostranicnog trougla stranice [inlmath]a[/inlmath]. Znaci, imamo da je:
[dispmath]R=a=2 \\\ \\\ r=\frac{a}{2}=\frac{2}{2}=1 \\\ \\\ H=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3[/dispmath]
I sad uvrstimo sve u obrazac za zapreminu zarubljenje kupe:
[dispmath]V_{ZK}=\frac{H\pi}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right) \\ V_{ZK}=\frac{\sqrt3\pi}{3}\left(2^2+1^2+2\cdot1\right) \\ V_{ZK}=\frac{7\sqrt3\pi}{3}[/dispmath]

---

Sto se tice kupe okrenute vrhom na dole, imamo istu visinu i vec vidjenu manju osnovu - odnosno njen poluprecnik, odnosno:
[dispmath]r=1 \\\ \\\ H=\sqrt3[/dispmath]
A njena zapremina bice jednaka:
[dispmath]V_K=\frac{r^2H\pi}{3} \\ V_K=\frac{\sqrt3\pi}{3}[/dispmath]

---

Pa ce zapremina tela koje je nastalo rotacijom biti:
[dispmath]V_{\text{T}}=V_{ZK}-V_K \\ V_{\text{T}}=\frac{7\sqrt3\pi}{3}-\frac{\sqrt3\pi}{3} \\ \enclose{box}{V_{\text{T}}=2\sqrt3\pi}[/dispmath]

Pokazao bih još jedan način. Ako produžimo izvodnice ovako dobijene zarubljene kupe, one će se seći u jednoj tački i ta tačka predstavljaće vrh jedne „veće“ kupe, čiji je poluprečnik osnove [inlmath]R[/inlmath] a visina [inlmath]2H[/inlmath]:


Sada od zapremine te „veće“ kupe treba oduzeti zapremine dve „manje“ podudarne kupe poluprečnika osnove [inlmath]r[/inlmath] i visine [inlmath]H[/inlmath] – jedna od njih je ona iz prethodnog postupka, s vrhom okrenutim prema dole, a druga je s vrhom okrenutim prema gore koji je istovremeno i vrh „veće“ kupe, pri čemu se osnove te dve „manje“ kupe poklapaju.
Ako sa [inlmath]V_1[/inlmath] obeležimo zapreminu „veće“ kupe, a sa [inlmath]V_2[/inlmath] zapreminu neke od „manjih“ kupa, tada imamo:
[dispmath]V_T=V_1-2V_2=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot2H-2\cdot\frac{1}{3}\pi r^2H=\frac{2}{3}\pi H\left(R^2-r^2\right)=\frac{2}{\cancel3}\pi\sqrt3\cancel{\left(2^2-1^2\right)}=2\pi\sqrt3[/dispmath]