MATEMANIJA

Treba mi pomoć oko zadatka koji je već ranije bio na prijemnom. Nije mi jasno kako dolaze do datog riješenja

U sektor (isecak) kruga poluprecnika [inlmath]R[/inlmath] cija je tetiva dužine [inlmath]2a[/inlmath], upisan je krug poluprecnika [inlmath]r[/inlmath]. Tada je:

Riješenje je [inlmath]\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}[/inlmath]

Pre svega bi trebalo da procitas pravilnik foruma
Sto se zadatka tice pre svega treba imati sliku koja ce nam pomoci pri resavanju zadatka.


Na slici imamo kruzni isecak, koji formira tetivu duzine [inlmath]2a[/inlmath], na slici mozemo da uocimo trougao cije su stranice [inlmath]r[/inlmath], [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]2a[/inlmath].
Uocavamo da je trougao jednakokraki [inlmath]\displaystyle\Rightarrow\;P=\frac{r\cdot2a}{2}=ra[/inlmath]
Polurecnik upisane kruznice u jednakokrakom trouglu mozemo odrediti uz pomoc povrsine [inlmath]P=R\cdot s[/inlmath] gde je [inlmath]s[/inlmath] poluobim trougla.
[dispmath]\begin{array}{l}
\displaystyle\Rightarrow\;ra=R\cdot\frac{r+r+2a}{2}=R\cdot\frac{2\left(r+a\right)}{2}=R\left(r+a\right)\\
\displaystyle ra=R\left(r+a\right)\\
\displaystyle\frac{1}{R}=\frac{r+a}{ra}=\frac{r}{ra}+\frac{a}{ra}=\frac{1}{a}+\frac{1}{r}\\
\displaystyle\Rightarrow\;\frac{1}{R}=\frac{1}{a}+\frac{1}{r}
\end{array}[/dispmath]
Rekao bih da si ti zamenila [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]R[/inlmath] u svom resenju

Što se tiče pravilnika, pročitala sam, al tek sam se registrovala i ovo mi je prvi post pa nisam imala uspjeha. Čak sam mijenjala par puta al nije moglo.

Na slici su samo zamjenjeni poluprečnici jer je [inlmath]R[/inlmath] poluprečnik kruga, a [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik kruga upisanog u isječak.

I hvala za objašnjenje, pomoglo je.

Nema na cemu, drago mi je sto imamo jos jednu damu na forumu

Vidzi je napisao:Što se tiče pravilnika, pročitala sam, al tek sam se registrovala i ovo mi je prvi post pa nisam imala uspjeha. Čak sam mijenjala par puta al nije moglo.

OK to za Latex, bila si zaboravila da Latex-kôd umetneš u tagove (dodao sam ih). O tagovima imaš na samom početku Latex-tutorijala, treći pasus.
Nego, ovde se ne može reći da su baš ispoštovane i tačke 6, 8. i 9. Pravilnika.
Naslov teme sam preimenovao u adekvatniji, a i premestiću je u „Geometriju“, jer je to pogodnije mesto za zadatak ove vrste, iako je, istina, u pitanju zadatak s prijemnog ispita.
OK, razumemo to sve, biće svakako bolje kad se malo uhodaš. Dobro došla na forum.

Što se samog zadatka tiče – nažalost, Herien Wolfov postupak nije dobar. Napravljene su dve greške, koje su se, nekom pukom koincidencijom, međusobno poništile, što je dovelo do ispravnog krajnjeg rezultata.
Prva greška je u samom crtežu. Na crtežu je manji krug upisan u trougao, iako je tekstom zadatka rečeno da manji krug treba da bude upisan u isečak („krišku“) većeg kruga. To znači, manji krug treba da iznutra dodiruje veći krug.
Druga greška je u sledećem:

Herien Wolf je napisao:Uocavamo da je trougao jednakokraki [inlmath]\displaystyle\Rightarrow\;P=\frac{r\cdot2a}{2}=ra[/inlmath]

Površina jednakokrakog trougla nije jednaka polovini proizvoda osnovice i kraka. Jednaka je polovini proizvoda osnovice i visine, to jest u ovom slučaju:
[dispmath]P=a\cdot h=a\cdot\sqrt{R^2-a^2}[/dispmath]

---

Pravilno nacrtan crtež treba ovako da izgleda (nisam crtao ceo veći krug, jer nema ni potrebe):


a neka moja ideja bi bila dosta slična Wolfovoj, s tim da sam krake trougla [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath] (koji predstavlja deo posmatranog isečka) produžio i, u preseku s tangentom u tački dodira dve kružnice, dobio temena trougla [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath], kao na slici. Zatim sam uočio sličnost tih trouglova [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath] – njihovi poluobimi stoje u istom međusobnom odnosu kao i njihove stranice, a njihove površine stoje u istom međusobnom odnosu kao kvadrati njihovih stranica... Eto te osnovne ideje... Pokušajte...

Herien Wolf je napisao:Nema na cemu, drago mi je sto imamo jos jednu damu na forumu

Da uocio sam greske, mada mi je zanimljivo da su se medjusobno "ponistile".
A sad ispravan postupak
Kao sto je Daniel napisao, uocavamo slicnost dva trougla [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath]
Odnos povrsina dva slicna trougla jednak je odnosu kvadrata stranica tih trouglova.
[inlmath]\displaystyle\Rightarrow\;\frac{P_{\triangle ACO_1}}{P_{\triangle DFO_1}}=\frac{\left(2a\right)^2}{\left(DF\right)^2}\\
\displaystyle P_{\triangle ACO_1}=\frac{2a\cdot h}{2}=ah\\
\displaystyle h=\sqrt{R^2-a^2}\\
\displaystyle\Rightarrow\;P_ {\triangle ACO_1}=a\sqrt{R^2-a^2}[/inlmath]
Sad racunamo povrsinu drugog trougla
[inlmath]\displaystyle P_{\triangle DFO_1}=\frac{DF\cdot R}{2}[/inlmath]

Kad sve zamenimo u proporciju koju smo imali na samom pocetku zadatka dobijamo
[dispmath]\Rightarrow\;\frac{a\sqrt{R^2 -a^2}}{\frac{DF\cdot R}{2}}=\frac{4a^2}{\left(DF\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{2\sqrt{R^2-a^2}}{R}=\frac{4a}{DF}\\
\frac{\sqrt{R^2-a^2}}{R}=\frac{2a}{DF}\\
DF=\frac{2aR}{\sqrt{R^2-a^2}}[/dispmath]
Nakon sto smo dobili stranicu [inlmath]DF[/inlmath] mozemo da izracunamo [inlmath]O_1F[/inlmath] uz pomoc Pitagorine teoreme
[inlmath]\displaystyle\left(O_1F\right)^2=\left(\frac{DF}{2}\right)^2+R^2=\frac{a^2R^2}{R^2-a^2}+R^2=\frac{a^2R^2+R^2\left(R^2-a^2\right)}{R^2-a^2}=\frac{R^2\left(a^2+R^2-a^2\right)}{R^2-a^2}=\frac{R^4}{R^2-a^2}\\
\displaystyle\Rightarrow\;O_1F=\frac{R^2}{\sqrt{R^2-a^2}}[/inlmath]

Sad koristimo forumulu za povrsinu trougla uz pomoc poluprecnika upisane kruznice:
[inlmath]\displaystyle P_{\triangle DFO_1}=r\cdot s[/inlmath]

[inlmath]\displaystyle s=\frac{\frac{2R^2}{\sqrt{R^2-a^2}}+\frac{2aR}{\sqrt{R^2-a^2}}}{2}=\frac{R^2+aR}{\sqrt{R^2-a^2}}[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\frac{DF\cdot R}{2}=r\cdot s\\
\frac{aR^2}{\sqrt{R^2-a^2}}=r\cdot\frac{R^2+aR}{\sqrt{R^2-a^2}}\\
aR^2=r\cdot R\left(R+a\right)\\
aR=r\left(R+a\right)\\
r=\frac{aR}{R+a}\\
\Rightarrow\;\frac{1}{r}=\frac{R+a}{aR}\\
\Rightarrow\;\frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}[/dispmath]

To je to. Način koji sam ja zamislio donekle se razlikuje (ne uključuje računanje osnovice [inlmath]\overline{DF}[/inlmath]), pa ću izložiti i njega (od viška glava ne boli).

Sa [inlmath]s_1[/inlmath] i [inlmath]s_2[/inlmath] označimo poluobime trouglova [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath], respektivno, a sa [inlmath]P_1[/inlmath] i [inlmath]P_2[/inlmath] označimo površine trouglova [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath] i [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath], respektivno.

Za poluobim trougla [inlmath]\triangle ACO_1[/inlmath] znamo da je
[dispmath]s_1=\frac{2a+R+R}{2}=a+R[/dispmath]
a za površinu istog trougla da je
[dispmath]P_1=\frac{1}{2}\overline{AC}\cdot\overline{O_1B}=\frac{1}{\cancel2}\cancel2a\cdot\sqrt{R^2-a^2}=a\sqrt{R^2-a^2}[/dispmath]
Zatim, na osnovu sličnosti trouglova, odredimo i poluobim i površinu trougla [inlmath]\triangle DFO_1[/inlmath]:
[dispmath]\triangle ACO_1\sim\triangle DFO_1\quad\Rightarrow\quad\frac{s_1}{s_2}=\frac{\overline{O_1B}}{\overline{O_1E}}=\frac{\sqrt{R^2-a^2}}{R}\quad\Rightarrow\quad s_2=\frac{R}{\sqrt{R^2-a^2}}s_1\\
\Rightarrow\quad s_2=\frac{R}{\sqrt{R^2-a^2}}\left(a+R\right)[/dispmath][dispmath]\frac{P_1}{P_2}=\frac{\overline{O_1B}^2}{\overline{O_1E}^2}=\frac{R^2-a^2}{R^2}\quad\Rightarrow\quad P_2=\frac{R^2}{R^2-a^2}P_1=\frac{R^2}{R^2-a^2}a\sqrt{R^2-a^2}\\
\Rightarrow\quad P_2=\frac{aR^2}{\sqrt{R^2-a^2}}[/dispmath]
Zatim postavimo vezu između [inlmath]s_2[/inlmath] i [inlmath]P_2[/inlmath] preko poluprečnika upisane kružnice:
[dispmath]P_2=r\cdot s_2\\
\frac{aR^{\cancel2}}{\cancel{\sqrt{R^2-a^2}}}=r\cdot\frac{\cancel R}{\cancel{\sqrt{R^2-a^2}}}\left(a+R\right)\\
aR=ra+rR\quad\Big/:\left(aRr\right)\\
\enclose{box}{\frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}}[/dispmath]