MATEMANIJA

Pozdrav, zadatak glasi: Neka su nad katetama [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath] jednakokrakog pravouglog trougla [inlmath]OAB[/inlmath] kao nad precnicima konstruisane kruznice [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]:

a) Dokazati da tacka [inlmath]C[/inlmath] pripada hipotenuzi [inlmath]AB[/inlmath] gde su [inlmath]O[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] presecne tacke kruznica [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]
b) Izracunati povrsinu preseka krugova koji su odredjeni kruznicama [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] ako je [inlmath]OA=4[/inlmath]

Sto se tice zadatka pod a) ne znam kako da dokazem da tacka [inlmath]C[/inlmath] pripada hipotenuzi,jedino sto mi je palo na pamet je koeficijent pravca a kako je oblast planimetrija a ne analiticka geometrija a nemam ni zadatu nikakvu jednacinu prave niti kruznice verujem da treba nesto da vidim sa skice a nesto preko formula ali jednostavno ne uspevam da dokazem

b) drugi deo zadatka mislim da ide preko kruznog isecka jedne i druge kruznice samo sto ne mogu da nadjem ugao koji odgovara luku,jedino sto izrazim je duzina hipotenuze koja iznosi [inlmath]4\sqrt2[/inlmath]. Mislim da treba da saberem povrsine kruznica i oduzmem povrsine njihovih kruznih isecaka da bi dobio krug odredjen kruznicama.Zahvaljujem na svakoj pomoci

Pod a.) moze da se uradi preko analiticke. Kordinate: [inlmath]O(0,0)[/inlmath], [inlmath]A(m,0)[/inlmath], [inlmath]B(0,m)[/inlmath], [inlmath]C\left(\frac{m}{2},\frac{m}{2}\right)[/inlmath]. Kordinate [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] ubacis u formulu za povrsinu trougla u analitickoj geometriji (ona determinanta). Dobice se da je povrsina trougla jednaka nuli, iz cega sledi da su tacke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] kolinearne. Pod b.) nisam uradio.

[inlmath]{\large O}AB[/inlmath] obelezena temena trougla a ne videh,zahvaljujem na ukazanoj pomoci,ako neko zna da resi pod b) neka javi,probacu sad da ga resim nekako preko analiticke .

Pod a) može da se uradi i preko klasične geometrije. Ako dokažemo da presečna tačka kružnice [inlmath]k_1[/inlmath] i hipotenuze polovi hipotenuzu, a zatim dokažemo da i presečna tačka kružnice [inlmath]k_2[/inlmath] i hipotenuze polovi hipotenuzu, time smo dokazali da se te dve tačke poklapaju, odakle sledi da se presečna tačka kružnica [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] nalazi na hipotenuzi.


Na slici uočimo da je ugao [inlmath]\angle OCA[/inlmath] prav, jer je to periferni ugao nad prečnikom. Odatle se može pokazati sličnost trouglova [inlmath]\triangle OCA[/inlmath] i [inlmath]\triangle AOB[/inlmath]. Na osnovu te sličnosti se može pokazati da je [inlmath]\overline{AC}=\frac{1}{2}\overline{AB}[/inlmath].

Na sličan način se pokaže i za drugu kružnicu, [inlmath]k_2[/inlmath].

Batonja je napisao:b) drugi deo zadatka mislim da ide preko kruznog isecka jedne i druge kruznice samo sto ne mogu da nadjem ugao koji odgovara luku,

Pa taj ugao je prilično očigledan,

Batonja je napisao:Mislim da treba da saberem povrsine kruznica i oduzmem povrsine njihovih kruznih isecaka da bi dobio krug odredjen kruznicama.

Ne znam da l' sam ovo najbolje razumeo, al' hajde da časkom raščistimo šta je kružni isečak, a šta odsečak:


Površina kružnog odsečka se dobije kad se od površine odgovarajućeg kružnog isečka oduzme površina odgovarajućeg jednakokrakog trougla.
Tražena površina u ovom zadatku jednaka je zbiru površina ta dva odsečka, to jest, dvostrukoj vrednosti svakog od ta dva odsečka, budući da su površine tih odsečaka jednake.

I, da, kružnica ne može imati površinu. Kružnica je kriva linija, a linije nemaju površinu. Površinu ima krug, kao oblast unutar kružnice.

---

Što se tiče rešenja pod a) preko analitičke geometrije,

pentagram142857 je napisao:Kordinate: [inlmath]O(0,0)[/inlmath], [inlmath]A(m,0)[/inlmath], [inlmath]B(0,m)[/inlmath], [inlmath]C\left(\frac{m}{2},\frac{m}{2}\right)[/inlmath]. Kordinate [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] ubacis u formulu za povrsinu trougla u analitickoj geometriji (ona determinanta).

može da se uradi i bez formule za površinu trougla. Na osnovu koordinata tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] vrlo lako dolazimo do segmentnog oblika jednačine hipotenuze,
[dispmath]\frac{x}{m}+\frac{y}{m}=1[/dispmath]
Uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]C[/inlmath] u tu jednačinu dobijamo da je jednačina zadovoljena, čime je pokazano da tačka [inlmath]C[/inlmath] pripada hipotenuzi.
Naravno, do koordinata tačke [inlmath]C[/inlmath] dolazimo nalaženjem preseka ove dve kružnice, a to se radi rešavanjem sistema koji čine jednačine tih kružnica.