Tehnički fakulteti, matematički, fizički i fizičko-hemijski fakulteti u Begoradu (Jul 1996.)

Teme [inlmath]A[/inlmath] ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] je izvan kružnice [inlmath]k[/inlmath]. Kraci ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] seku kružnicu [inlmath]k[/inlmath] u tačkama [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath], [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] određujući na njoj dva luka [inlmath]\overset{\frown}{BD}[/inlmath] i [inlmath]\overset{\frown}{CE}[/inlmath] koji su unutar ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i u razmeri [inlmath]1:4[/inlmath], tj. [inlmath]\overset{\frown}{BD}:\overset{\frown}{CE}=1:4[/inlmath]. Većem od ovih lukova odgovara centralni ugao od [inlmath]50^\circ[/inlmath]. Koliko stepeni ima ugao [inlmath]\alpha[/inlmath]?
[dispmath](A)\enspace12.5^\circ\qquad(B)\enspace16^\circ\qquad(C)\enspace17.75^\circ\qquad\enclose{box}{(D)\enspace18.75^\circ}\qquad(E)\enspace19^\circ[/dispmath]
Pričao sam sa Herien Wolf-om o ovom zadatku, ali nismo došli do neke ideje koja bi nas dovela do rešenja. Slika za dati zadatak izgledala bi ovako:

Znači, centralni ugao nad većim od lukova (a to je ugao [inlmath]\angle COE[/inlmath] – na slici obeležen sa [inlmath]y[/inlmath]) iznosi [inlmath]50^\circ[/inlmath].
Za početak, koliko onda iznosi ugao [inlmath]\angle BOD[/inlmath] (na slici obeležen sa [inlmath]x[/inlmath])?

Nakon toga, uočite vezu između ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i uglova [inlmath]\angle ACE[/inlmath] i [inlmath]\angle AEC[/inlmath].
Zatim vezu između uglova [inlmath]\angle ACE[/inlmath] i [inlmath]\angle BCO[/inlmath] (kao i vezu između uglova [inlmath]\angle AEC[/inlmath] i [inlmath]\angle DEO[/inlmath]).
Pa onda vezu između uglova [inlmath]\angle BCO[/inlmath] i [inlmath]\angle BOC[/inlmath] (kao i vezu između uglova [inlmath]\angle DEO[/inlmath] i [inlmath]\angle DOE[/inlmath]).
I, na kraju, vezu između zbira uglova [inlmath]\angle BOC+\angle DOE[/inlmath] i zbira poznatih uglova [inlmath]\angle BOD+\angle COE[/inlmath].

Pokušajte tako, pa javite ako ne ide.

Evo, ja sam to pokusao ovako, pa me zanima da li je ovo dobar postupak.

Kao prvo imamo da je [inlmath]\alpha+\angle ACE+\angle AEC=180^\circ[/inlmath].

Takodje, posto je trougao [inlmath]OCE[/inlmath] jednakokraki, imacemo da su njegovi uglovi [inlmath]50^\circ[/inlmath] i dva od [inlmath]65^\circ[/inlmath]. Na osnovu toga, vidimo da su uglovi [inlmath]\angle BCO[/inlmath] i [inlmath]\angle DEO[/inlmath] jednaki [inlmath]\angle ACE-65^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle AEC-65^\circ[/inlmath], respektivno.

Dalje, i trouglovi [inlmath]BOC[/inlmath] i [inlmath]DEO[/inlmath] su jednakokraki, pa cemo imati da je:
[dispmath]\angle BCO+\angle CBO+\angle BOC=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle BOC=310^\circ-2\angle ACE\\\
\\\
\angle DEO+\angle EDO+\angle DOE=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle DOE=310^\circ-2\angle AEC[/dispmath]
Imamo i da [inlmath]\angle BOC+\angle DOE+\angle BOD+\angle COE=360^\circ[/inlmath], odnosno:
[dispmath]310^\circ-2\angle ACE+310^\circ-2\angle AEC+50^\circ+12.5^\circ=360^\circ\\\
\\\
\angle ACE+\angle AEC=161.25^\circ[/dispmath]
Ako se vratimo u polaznu relaciju [inlmath]\alpha+\angle ACE+\angle AEC=180^\circ[/inlmath], dobijamo da je ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] jednak:
[dispmath]\alpha=180^\circ-(\angle ACE+\angle AEC)=180^\circ-161.25^\circ=18.75^\circ[/dispmath]