MATEMANIJA

Treba mi dokaz ovog zadatka ako neko zna iz veneove zbirke za 3 godinu 5 zadatak :

U jednakokrakom pravouglom trouglu [inlmath]ABC[/inlmath] konstruisana je simetrala ostrog ugla [inlmath]B[/inlmath] koja sece katetu [inlmath]AC[/inlmath] u tacki [inlmath]M[/inlmath]. Nad duzinama [inlmath]AM[/inlmath] i [inlmath]MC[/inlmath] kao nadstranama konstruisani su kvadrati.
Dokazati da je povrsina jednog kvadrata dva puta veca od povrsine drugog.

Pozdrav. Treba ti resenje iz Veneove zbirke ili neki drugaciji dokaz...nisam bas najbolje shvatio?

@teleport, molim te da svoj post dopuniš u skladu s tačkom 6. Pravilnika – nije dovoljno da samo kažeš „treba mi dokaz“. Možemo li da vidimo neki tvoj pokušaj dokazivanja, neko razmišljanje, bilo šta?

Ukoliko odsječke na strani [inlmath]AC[/inlmath] označimo kao [inlmath]AM=y[/inlmath] i [inlmath]CM=x[/inlmath], katete trougla [inlmath]AC=BC=a[/inlmath], hipotenuzu [inlmath]AB=b[/inlmath], a pošto je trougao jednakokraki pravougli imamo da je
[dispmath]\angle BAC=\angle CAB=\frac{\pi}{4}[/dispmath]
dalje je
[dispmath]\text{tg }\frac{\pi}{8}=\frac{x}{a}[/dispmath][dispmath]\frac{\sin\frac{\pi}{8}}{y}=\frac{\sin\frac{5\pi}{8}}{b}[/dispmath]
Na osnovu Pitagorine teoreme znamo da je [inlmath]b=a\cdot\sqrt2[/inlmath], a primijetimo da je [inlmath]\sin\frac{5\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{8}[/inlmath], pa se dobije:
[dispmath]\frac{\sin\frac{\pi}{8}}{y}=\frac{\cos\frac{\pi}{8}}{a\cdot\sqrt2}\\
\text{tg }\frac{\pi}{8}=\frac{y}{a\cdot\sqrt2}\\
\frac{x}{\cancel{a}}=\frac{y}{\cancel{a}\cdot\sqrt2}\\
x\cdot\sqrt2=y[/dispmath]
Povšine pravougaonika su:
[dispmath]P_1=x^2\\
P_2=y^2=2x^2[/dispmath]
čime smo dokazali to što smo trebali. Ukoliko ti treba da površine izraziš preko strane [inlmath]a[/inlmath] to možeš jednostavno uraditi, ako znaš da je [inlmath]\text{tg }\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1[/inlmath] iako se to ne traži u zadatku.

p.s. valjda me Daniel neće ubiti jer odgovaram na pitanja koja nisu postavljena u skladu sa pravilnikom

bole je napisao:p.s. valjda me Daniel neće ubiti jer odgovaram na pitanja koja nisu postavljena u skladu sa pravilnikom

Naravno da neću, tebi u svakom slučaju hvala na izdvojenom vremenu, ali ovo pokazuje da će ubuduće tako postavljena pitanja ipak morati u kantu.