MATEMANIJA

Osnova piramide je kvadrat stranice [inlmath]2\sqrt3\text{ cm}[/inlmath], a visina piramide je [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath] i ona sardži središte jedne od ivica osnove. Koliki je poluprečnik sfere opisane oko ove piramide ? Rešenje je [inlmath]\sqrt7[/inlmath] .
Možete li mi dati ideju kako da počnem.... Ono što mogu zaključiti je to da je jedna stranica piramide jednakostranični trougao stranice [inlmath]a=2\sqrt3[/inlmath] . Problem je u tome sto visina nije normala na presek dijagonala kvadrata nego na stranicu.

Centar opisane sfere (na slici obeležen crveno) mora biti podjednako udaljen od sva četiri temena osnove – prema tome, mora se nalaziti na pravoj normalnoj na osnovu, koja prolazi kroz centar osnove (na slici obeleženoj zeleno).


Takođe, centar opisane sfere mora biti podjednako udaljen od sva tri temena jednakostraničnog trougla koji si već uočio – prema tome, mora se nalaziti na pravoj normalnoj na taj jednakostraničan trougao, koja prolazi kroz težište tog trougla (na slici obeleženoj plavkasto).

Imaš li sad ideju?

Zadatak rešen. Hvala na ideji !

Svaka čast što je zadatak rešen.
No mogao/mogla bi se Danielu zahvaliti na ideji i super slici (klikom na podignut palac, gore u meniju).
Ali to nije tvoja obaveza naravno. To je stvar dobre volje.
A bilo bi sjajno kada bi nam postovao/la to svoje rešenje, makar u kratkim crtama.
Zbog ostalih korisnika.
A i da proverimo postupak.

Našao sam dijagonalu kvadrata pa na osnovu toga i polovinu dijagonale kvadrata koja je [inlmath]\sqrt6[/inlmath] zato što poluprecnik opisane sfere mora sadržavati temena kvadrata. Ako centar opisane sfere mora biti jednako udaljen od temena jednakokrakog trougla tada ćemo visinu piramide (visinu jednakostranicnog trougla) podeliti na 2 dela. Prvi deo je [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath][inlmath]\cdot H[/inlmath] a drugi deo je [inlmath]\frac{2}{3}\cdot H[/inlmath]. Ako uzmemo deo [inlmath]\frac{1}{3}\cdot H[/inlmath] i nazovemo ga sa [inlmath]X[/inlmath] onda je [inlmath]X=1[/inlmath], pa uzmemo polovinu dijagonale i to [inlmath]X[/inlmath] i preko Pitagorine teoreme nađemo [inlmath]R^2[/inlmath]. Objasnio sam ovo najbolje što mogu bez velike upotrebe Latex-a jer sam novi na ovom forumu Bilo bi bolje ako neko može da to skicira.

Sasvim ti je dobar Latex.

Evo skice načina na koji si radio:


Posmatrao si, dakle, pravougli trougao obeležen žuto i primenio na njega Pitagorinu teoremu.

---

Drugi način, podjednako efikasan kao i tvoj način, bio bi da posmatramo žuti pravougli trougao na sledećoj slici i na njega takođe primenimo Pitagorinu teoremu:


Uraditi zadatak na dva načina i dobiti isti rezultat, najbolja je potvrda da je rezultat tačan.