MATEMANIJA

Pozdrav resevanjem jednog zadatka iz oblasti geometrije(tacnije planimetrije) dosao sam do neke nejednakosti.


Kod trougla prikazanog gore na slici bi po sinusnoj teoremi trebalo da vazi sledece [dispmath]\frac{a}{\sin120^\circ}=\frac{b}{\sin30^\circ}[/dispmath]
Uglovi [inlmath]120^\circ[/inlmath] i [inlmath]30^\circ[/inlmath] imaju iste sinuse koji iznose [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] iz ovog sledi da je [dispmath]a=b[/dispmath]
Ali


Kada istom trouglu povucemo simetralu ugla i opet se pozovemo na sinusnu teoremu koja u ovom slucaju kaze
[dispmath]\frac{\frac{a}{2}}{\sin60^\circ}=\frac{b}{\sin90^\circ}[/dispmath][dispmath]\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{b}{1}[/dispmath]
dobijamo da je [dispmath]a=b\sqrt3[/dispmath]
Ocigledno mi je da je nesto od ovoga greska,interesuje me sta i zbog cega? Zahvaljujem na vremenu .

[inlmath]\sin120^\circ[/inlmath] nije jednako [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] kao sto si ti napisao. Mozes da koristis pravilo [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha[/inlmath]
[dispmath]\sin120^\circ=\sin\left(90^\circ+30^\circ\right)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath]
I jos jedna napomena zasto tvoja pretpostavka da je [inlmath]a=b[/inlmath] pada u vodu
U slucaju da je [inlmath]a=b[/inlmath] dolazimo do zakljucka da je trougao jednakostranicni, a da bi trougao bio jednakostranicni [inlmath]\alpha=\beta=\gamma=60^\circ[/inlmath]. Kao sto vidis ti imas uglove [inlmath]\alpha=120^\circ[/inlmath], [inlmath]\beta=30^\circ[/inlmath] i [inlmath]\gamma=30^\circ[/inlmath]

+Napomena u Latex kodu da bi dodao stepen koristis ^\circ
Primer: \sin90^\circ [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Rezultat [inlmath]\sin90^\circ[/inlmath]