MATEMANIJA

U trapez [inlmath]ABCD[/inlmath] sa osnovicama [inlmath]AB=3[/inlmath] i [inlmath]CD=1[/inlmath] upisan je krug poluprecnika [inlmath]\frac{12}{7}\text{ cm}[/inlmath]. Koliki je kraci krak trapeza? Resenje je [inlmath]\frac{13}{7}[/inlmath] . Nije mi jasno to da ako je upisan krug on mora dirati sve strane trapeza ali u ovom slucaju ne dira. Kako da znam koji ce krak dirati krug a koji nece? Zadatak mi uopste nije jasan nazalost.... pa ako moze malo vise pomoci

Sad ja sam to krenuo ovako. Pre svega da bi se mogla upisati kruznica, trapez mora biti tangentni, tj. vazice:
[dispmath]AB+CD=BC+AD\\
\Downarrow\\
BC+AD=4[/dispmath]
Takodje, imacemo da je povrsina jednaka:
[dispmath]P=(AB+CD)\cdot r=4\cdot\frac{12}{7}=\frac{48}{7}[/dispmath]
Povrsina trapeza moze se izracunati kao i proizvod sredisnje linije i visine, tj. imacemo:
[dispmath]P=m\cdot h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{P}{m}[/dispmath]
Kako imamo da je [inlmath]P=\frac{48}{7}[/inlmath], a sredisnja linija [inlmath]m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{3+1}{2}=2[/inlmath], visina ce biti:
[dispmath]h=\frac{\frac{48}{7}}{2}=\frac{24}{7}[/dispmath]
Medjutim, ova visina se ne uklapa u ostale brojevne vrednosti, jer je duza od kraka, koji je ponudjen u resenju. Dalje ne bih nastavljao sa postupkom odredjivanja krakova, jer ocigledno da i ovde negde imam gresku (ili je pak postavka zadatka pogresna).

Naravno da krug upisan u trapez mora "dirati" sve četiri stranice trapeza.
Preciznije rečeno, kružnica dodiruje trapez u četiri tačke.
Da li je rešenje tačno ili nije videćete ako prosto zamislite:
Centar kruga je između dve paralelne stranice trapeza. Tačno na sredini. Da bi ih obe dodirivao.

bobe je napisao:Nije mi jasno to da ako je upisan krug on mora dirati sve strane trapeza ali u ovom slucaju ne dira.

Dakle, prethodnici rekoše, al' da i ja dopunim... Pre svega, kružnica upisana u trapez podrazumeva da ista dodiruje sve četiri stranice tog trapeza.

Postoje trapezi:

• u koje se ne može upisati kružnica (tj. ne postoji kružnica koja bi dodirivala sve četiri stranice trapeza),
• u koje se može upisati kružnica – ovi drugi zovu se još i tangentni trapezi, jer njihove stranice predstavljaju tangente upisane kružnice, i kod njih važi relacija da je zbir dužina osnovica jednak zbiru dužina krakova – s tim u vezi možeš pogledati ovu i ovu temu.

Čim ti je, kao u ovom zadatku, rečeno da je u trapez upisana kružnica, time ti je automatski dat podatak da je to trapez u koji se može upisati kružnica, tj. da je taj trapez tangentni (i da kod njega, samim tim, važi pomenuta jednakost zbira osnovica i zbira krakova).

Zadatak, ovako kako je napisan, zaista nema rešenja. Međutim, proveri da možda ne treba umesto

bobe je napisao:upisan je krug poluprecnika [inlmath]\frac{12}{7}\text{ cm}[/inlmath]

da piše „upisan je krug prečnika [inlmath]\frac{12}{7}\text{ cm}[/inlmath]“, jer bi se tada dobilo rešenje koje si naveo.


@Ilija, ceo tvoj postupak jeste tačan, s tim što zaista nema potrebe visinu trapeza računati preko površine. Pošto su osnovice trapeza međusobno paralelne, a upisana kružnica dodiruje obe osnovice, odmah možemo zaključiti da je rastojanje između osnovica (tj. visina trapeza) jednaka prečniku upisane kružnice. To jest, da je visina trapeza jednaka dvostrukoj vrednosti poluprečnika upisane kružnice.
Kad se nacrta slika trapeza s upisanom kružnicom, sve je to još mnogo očiglednije.

Sto znaci da je nemoguce uraditi ovaj zadatak? Ima gresku?

Odakle je ovaj zadatak? Neka zbirka, internet? I jesi li proverio da je [inlmath]100\%[/inlmath] postavka onako kako si gore napisao? Ukoliko je zadatak onakav, kako si ga napisao na pocetku, tada on nema resenja. Ako hoces mozes ti nastaviti da uradis, uzimajuci da je ona brojevna vrednost precnik, a ne poluprecnik. Ili da nastavimo mi, ako ti i dalje nije jasno.

Zadatak je iz informatora za upis na Masinski fakultet u Beogradu. U informatoru ima nekoliko zadataka sa greskom tako da je moguce da je ovo greska, ali bih voleo da vidim nacin kako se radi kada je u ovom slucaju precnik [inlmath]\frac{12}{7}\text{ cm}[/inlmath].

Uoči međusobnu vezu projekcija krakova na dužu osnovicu, [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
Međusobnu vezu krakova [inlmath]BC[/inlmath] i [inlmath]AD[/inlmath] već imaš – to je [inlmath]BC+AD=4[/inlmath].
Zatim izrazi [inlmath]x[/inlmath] preko kraka [inlmath]AD[/inlmath] (Pitagorina teorema), kao i [inlmath]y[/inlmath] preko kraka [inlmath]BC[/inlmath]... I onda kreni sa sređivanjem svega toga...