MATEMANIJA

MATF Prijemni – 2011
12. zadatak

Lopta je presecena sa dve paralelne ravni, tako sto je jedna ravan sece u krugu od [inlmath]49\pi\text{ dm}^2[/inlmath], a druga u povrsini od [inlmath]400\pi\text{ dm}^2[/inlmath]. Rastojanje izmedju te dve ravni je [inlmath]39\text{ dm}[/inlmath]. Naci poluprecnik lopte.
Jedino sto sam nasao to je [inlmath]r_1=7[/inlmath] i [inlmath]r_2=20[/inlmath], dalje nemam ideju

Samo treba nacrtati skicu i ona će sve lepo kas'ti.


Dakle, misilm da se sa skice sasvim jasno vidi šta treba uraditi – izraziti i [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath] preko [inlmath]R[/inlmath] (Pitagorina teorema) i iskoristiti vezu [inlmath]d_1+d_2=39\text{ dm}[/inlmath].

---

Treba, doduše, razmotriti i slučaj da ova dva presečna kruga pripadaju istoj polulopti (tj. da se centar lopte ne nalazi između ove dve ravni) – tada će važiti [inlmath]d_1-d_2=39\text{ dm}[/inlmath] (dobiće se da taj slučaj nema rešenja).

Izgledalo mi je lako ali sam zapeo u racunu. Tacnije:
[dispmath]d_1=\sqrt{r^2-49}[/dispmath][dispmath]d_2=\sqrt{r^2-400}[/dispmath]
Sabrao sam ih i dobio:
[dispmath]\left.39=\sqrt{r^2-49}+\sqrt{r^2-400}\quad\right/^2[/dispmath][dispmath]1521=2r^2-449+2\sqrt{\left(r^2-49\right)\left(r^2-400\right)}[/dispmath]
I sad ako krenem opet da kvadriram dobicu prevelike brojeve. Je l to ok, posto mi ne pada nista drugo napamet ?

Jednostavnije ti je da pre kvadriranja prebaciš jedan od korena na drugu stranu jednačine, npr.
[dispmath]39-\sqrt{r^2-49}=\sqrt{r^2-400}[/dispmath]
a zatim izvršiš kvadriranje, uz postavljanje uslova nenegativnosti leve strane.