MATEMANIJA

ETF pripremni zadaci zad. 47.
Nad osnovicom jednakokrakog trougla kao nad tetivom konstuisan je krug koji dodiruje krake trougla . Naci poluprecnik kruga ako je duzina osnovice trougla [inlmath]a[/inlmath], a duzina visine koja odgovara osnovici [inlmath]h[/inlmath].

Sporno je sledece..
Ja sam radio zadatak tako sto sam za centar kruga izabrao proizvoljnu tacku u produzetku visine koja odgovara osnovici, a poluprecnik kruga mi je odredjen time sto kruznica mora da prolazi kroz temena koja odgovaraju osnovici (iz uslova zadatka da je osnovica tetiva kruga).
Primetimo da ima beskonacno mnogo krugova koji se mogu izabrati na taj nacin (crtez levo).
Oni imaju jedinstveno resenje, tj. oni su izabrali takav krug da su produzetci oba kraka trougla ujedno i tagente na krug(centralni crtez).

Pitanje glasi: Kako se definise "kruznica dodiruje duz"?
Ako za definiciju dodira uzmemo da krug i duz imaju jednu zajednicku tacku onda je i moj postupak tacan, tj. na crtezu desno kruznica [inlmath]k[/inlmath] dodiruje krak [inlmath]AB[/inlmath]?

Samo da dodam "tacno" resenje zadatka..


Primetimo prvo da je trougao [inlmath]\triangle CAO[/inlmath] pravougli.
Dalje, primetimo da su trouglovi [inlmath]\triangle ACO[/inlmath] [inlmath]\triangle C_1AO[/inlmath] i [inlmath]\triangle C_1CA[/inlmath] slicni.
Sada vidimo da vazi:
[dispmath]\frac{r}{0.5a}=\frac{b}{h}[/dispmath][dispmath]b=\sqrt{(0.5a)^2+h^2}[/dispmath]
Dalje se lako dobija resenje oblika
[dispmath]r=\frac{a\sqrt{a^2+4h^2}}{4h}[/dispmath]
Oni su naveli da je ideja zadatka da se uoci da kod pravouglog trougla vazi veza(crtez desno):
[dispmath]h_c=x\cdot y[/dispmath]

RedAndWhite je napisao:Nad osnovicom jednakokrakog trougla kao nad tetivom konstuisan je krug koji dodiruje krake trougla .

RedAndWhite je napisao:Oni imaju jedinstveno resenje, tj. oni su izabrali takav krug da su produzetci oba kraka trougla ujedno i tagente na krug(centralni crtez).

Pa ako imamo krug koji kako kazu dodiruje krake (a dodiruje ih i nekoj tacki), onda su kraci trougla tangentne duzi tog kruga. Dakle, osnovica je tetiva, a kraci su tangentne duzi kruga. Po nekoj mojoj logici.

Upravo tako – kad se kaže da se kružnica i prava dodiruju, to znači da imaju jednu zajedničku tačku, tj. da je prava tangenta na kružnicu. Postoje još dva moguća slučaja – da se seku (tj. da imaju dve zajedničke tačke), ili da uopšte nemaju zajedničkih tačaka.

@RedAndWhite, hvala za postupak rešavanja koji si priložio. Što se tiče tvog pitanja,

RedAndWhite je napisao:Oni su naveli da je ideja zadatka da se uoci da kod pravouglog trougla vazi veza(crtez desno):
[dispmath]h_c=x\cdot y[/dispmath]

Ne, nego [inlmath]h_c^{\color{red}2}=x\cdot y[/inlmath]. Iz sličnosti pravouglih trouglova dobije se [inlmath]x:h_c=h_c:y[/inlmath], a odatle [inlmath]h_c^2=x\cdot y[/inlmath].
Dakle, [inlmath]h_c[/inlmath] predstavlja geometrijsku sredinu dužina [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. O tome je bilo reči u ovoj temi.
I, primenjeno na ovaj zadatak, to bi izgledalo
[dispmath]\left(\frac{a}{2}\right)^2=h\cdot\sqrt{r^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\quad\Rightarrow\quad\cdots\quad\Rightarrow\quad r=\frac{a\sqrt{a^2+4h^2}}{4h}[/dispmath]

Izvinjam se za gresku na kraju drugog posta, nisam dobro odkucao..
Hvala Danielu na korekciji..
Sto se tice prave i kruznice stvar je prilicno jasna, ali moje pitanje je odnos kruznice i duzi?
Mozda gresim ali ja bih rekao da je krak trougla duz?
Nadao sam se da postoji neki aksiom Euklidove geometrije koji definise sta znaci "dodirivati"?
Dodirivati= Imati jednu i samo jednu zajednicku tacku ili
Dodirivati= Dve prave se dodiruje ako imaju jednu zajednicku tacku i u toj tacki im je isti prvi izvod ili nesto trece?
Ili se prosto ne definise odnos duzi i kruznice?

Opet greska u kucanju..
Dodirivati= Dve krive se dodiruju ako imaju jednu zajednicku tacku i u toj tacki im je isti prvi izvod ili nesto trece?
Ili se prosto ne definise odnos duzi i kruznice?

Po meni je najbolji prevod reči "tangenta" tj. da duž dodiruje kružnicu rečju "dirka".
Dira je, dodiruje je.
Nema potrebe da se ovde razmatra prvi izvod.
Prvi argument mi je da je ovo tema u rubrici "Geometrija".
Drugi argument je da u vreme Euklida svakako nije bio definisan prvi izvod.

Duz [inlmath]AB[/inlmath] "dirka" kruznicu [inlmath]k[/inlmath] znaci [inlmath]AB[/inlmath] je tagenta?
Ja bih rekao da [inlmath]AB[/inlmath] dodiruje kruznicu ali nije tagenta, tj. dodirivati i tagenta nisu jedno te isto?

Pa kako duz moze biti tangenta? Tangenta je prava koja krivu dodiruje u jednoj tacki. Neka duz moze biti odsecak tangente. Dakle, u slucaju tvog zadatka krakovi trougla su odsecci pravaca koji su tangente kruznice. Takodje, poluprecnik do tacke dodira tangente i kruznice, mora biti normalan na tu tangentu sto to ovde (na poslednje prilozenoj) svakako nije slucaj. Ako bi se ovaj pravac pustio "da ide", on bi bio sekanta (jer bi dodirivao kruznicu u dve tacke), a ne tangenta. Meni je ovo malo konceptualno nejasno - sta se pokusava ovde reci?

Primeticete da u zadatku se ne spominje rec tagenta a sve Vase kolege tvrde da krak trougla mora biti normalan na precnik kruga tj. u neku ruku "tagentan"..
Pitanje je od starta bilo koncizno:
Da li na slici iznad duz [inlmath]AB[/inlmath] dodiruje krug [inlmath]k[/inlmath]?

Da, pročitao sam ponovo i shvatam šta želiš da pitaš. Slažem se da je zadatak neprecizno formulisan, bilo bi mnogo bolje da je rečeno „konstruisan je krug takav da kraci jednakokrakog trougla pripadaju tangentama tog kruga“. Možda je nezgrapno, ali tad ne bi bilo dileme.
A da li bi se za duž čiji se kraj nalazi na kružnici, bez obzira na ugao između tangente i kružnice u zajedničkoj tački, moglo reći da dodiruje tu kružnicu – na to nemam odgovor. Nisam se dosad susretao s takvim slučajem, a nisam uspeo ni u literaturi da nađem neke precizne definicije tih pojmova.
U svakom slučaju, mislim da tvoje pitanje nije bez smisla.

P.S. Više puta si napisao tagenta. Ispravno je tangenta (prava koja tangira, jel')... Ima i drugih grešaka (produžetci, odkucao), ali pripisujem ih omaškama u kucanju.

"Touching is defined as having the same tangent vector in a common point"..
"Dodirivanje je definisano kao imanje istog tangentnog vektora u zajednickoj tacki"..
Nije neka definicija, ali je jedina koju sam nasao..
Posledica ove definicije je da na prehodnim slikama duz [inlmath]AB[/inlmath] ne dodiruje krug [inlmath]k[/inlmath]

Dobra je definicija, otklanja svaku nedoumicu.
Hvala ti što si je podelio s nama, sada je stvar sasvim jasna, a tekst zadatka koji si postavio je ipak precizno sročen.

I Euklid slično definiše dodirivanje (Knjiga treća, definicija druga):
Tvrdi se da prava dodiruje krug, ako susreće krug i produžena, ne seče krug.

OK, malo bi valjalo korigovati prevod, budući da je jasno da prava ne može biti produžena, jer prava po definiciji već ima beskonačnu dužinu.

Nađoh ovde originalne Euklidove definicije, s prevodom na engleski. Kaže:

Euclid je napisao:2. A straight-line said to touch a circle is any (straight-line) which, meeting the circle and being produced, does not cut the circle.

(str. 70)

Koliko sam video, straight-line na engleskom znači duž, dok bi se na engleskom za pravu reklo line.

I ja sam istu stvar primetio, ali..
Euklid pravu liniju (straight-line, Εὐθεῖα γραμμή) definiše u svojoj prvoj knjizi na sledeći način:

Euclid je napisao:Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖτα
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
Knjiga prva, definicija četvrta

Ovu rečenicu su preveli na srpski kao: "Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži". Kao što vidimo, definicija i nema baš smisla (kao što su i komentatori Euklid primetili), ali nije u tome stvar. Stvar je u tome što Euklid u drugoj definiciji treće knjige (i ostalim definicijama) koristi samo reč Εὐθεῖα (prav, prava), izostavljajući reč γραμμή (linija). Verovatno se zato i u srpskom prevodu spominje samo reč prava (bez linija).
Euklid, izgleda, nije pravio jasnu razliku između prave (kao beskonačne linije) i duži (kao linije ograničene tačkama), pa se zbog toga i u prevodima ne pravi razlika između ta dva pojma.

Daniel je napisao:Koliko sam video, straight-line na engleskom znači duž, dok bi se na engleskom za pravu reklo line.

Slažem se. Englezi bi još za duž rekli i line segment, ali ponekad će zato i za pravu reći straight-line.

---

Bilo kako bilo, na kraju bih samo rekao da Elementi koliko god bili uticajni na matematiku, ipak nisu više merodavni, zastarili su, i ne bi ih trebalo uzimati kao pouzdan izvor.
Ja sam kriv za zabunu, nije ni trebalo da ga citiram :D

Sa svime se slažem, izuzev s ovim:

ubavic je napisao:Ja sam kriv za zabunu, nije ni trebalo da ga citiram

Thnx za sve ove podatke, vrlo su zanimljivi, a mogu biti i od koristi.