MATEMANIJA

Data je kocka [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] ivice [inlmath]a=6\text{ cm}[/inlmath]. Naci zapreminu piramide [inlmath]AB_1CD_1[/inlmath].
E ovako, ja sam nacrtao sliku:
Ako sam dobro nacrtao sliku , meni ovo izgleda na piramidu sa svim jednakostranicnim trouglovima. Posto je [inlmath]V=\frac{BH}{3}[/inlmath], treba nam [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath].
Povrsinu osnove po formuli:
[dispmath]B=\frac{a^2\sqrt3}{4}[/dispmath]
Dobijam da je [inlmath]B=18\sqrt3[/inlmath]
Visina bocne stranice je :
[dispmath]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/dispmath]
[inlmath]h=3\sqrt6[/inlmath].
Dalje [inlmath]H=\sqrt{h^2-\left(\frac{h}{3}\right)^2}[/inlmath]. [inlmath]H=4\sqrt3[/inlmath].
Kada primenim formulu za zapreminu dobijam sve ukupno [inlmath]V=72[/inlmath], a u resenju je [inlmath]36[/inlmath]. Znaci ili sam nesto prevideo ili sam pogresio u racunu.. Svaka pomoc dobrodosla

lowzyyy je napisao:Povrsinu osnove po formuli:
[dispmath]B=\frac{a^2\sqrt3}{4}[/dispmath]
Dobijam da je [inlmath]B={\color{red}18}\sqrt3[/inlmath]

Ovde je bila greška
[dispmath]B=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3[/dispmath]

Kako ? Zar nije dijagonala jednaka [inlmath]6\sqrt2[/inlmath] ?

Tačno, mada ne možemo isto obeležavati stranicu kocke i stranicu piramide, il uvodimo stranicu [inlmath]s=a\sqrt2=6\sqrt2[/inlmath], il radimo sve u funkciji stranice kocke
[dispmath]B=\frac{a^2\sqrt3}{2}=18\sqrt3[/dispmath]
[dispmath]H=\sqrt{\left(a\sqrt2\right)^2-\left(\frac{a\sqrt6}{3}\right)^2}=\sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{3}}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}}\\
H=\frac{2\sqrt3a}{3}=4\sqrt3\\
V=\frac{BH}{3}=\frac{18\sqrt3\cdot4\sqrt3}{3}=72[/dispmath]
Jesi li sigurno dobro otkucao tekst zadatka ?

Napravio sam sliku da bude malo uočljivije


Čak i kad bismo pravili sliku u glavi, ova piramida sigurno ima više od [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath] zapremine kocke. Zapremina kocke je [inlmath]216\text{ cm}^3[/inlmath].
Možda ja grešim.

Zadatak 16.
http://www.matf.bg.ac.rs/files/zad0904.pdf

Herien Wolf je napisao:Čak i kad bismo pravili sliku u glavi, ova piramida sigurno ima više od [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath] zapremine kocke. Zapremina kocke je [inlmath]216\text{ cm}^3[/inlmath].

Neverovatno, al' istu ovu rečenicu sam mislio i ja da napišem.

---

Evo još jednog načina za rešavanje (isto se dobije [inlmath]V=72\text{ cm}^3[/inlmath]):

Traženu piramidu [inlmath]AB_1CD_1[/inlmath] možemo dobiti i tako što od kocke [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] „odsečemo“ piramide [inlmath]ABCB_1[/inlmath], [inlmath]CB_1C_1D_1[/inlmath], [inlmath]AA_1B_1D_1[/inlmath] i [inlmath]ACDD_1[/inlmath].
Sve ove četiri piramide su istog oblika i iste zapremine, osnova im je polovina strane kocke (tj. [inlmath]\frac{a^2}{2}[/inlmath]), a visina im je ivica kocke [inlmath]a[/inlmath]:


Prema tome, zapremina svake od tih piramida iznosi:
[dispmath]V_{ABCB_1}=V_{CB_1C_1D_1}=V_{AA_1B_1D_1}=V_{ACDD_1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}[/dispmath]
Kako bismo dobili zapreminu tražene piramide [inlmath]AB_1CD_1[/inlmath], od zapremine kocke treba, dakle, oduzeti zapremine ove četiri piramide,
[dispmath]V_{AB_1CD_1}=V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}-4V_{ABCB_1}=a^3-4\cdot\frac{a^3}{6}=a^3-\frac{2a^3}{3}=\frac{a^3}{3}\\
V_{AB_1CD_1}=\frac{216\text{ cm}^3}{3}\\
\enclose{box}{V_{AB_1CD_1}=72\text{ cm}^3}[/dispmath]

---

Apelovao bih na korisnike (po ko zna koji put) da uvek prilikom postavljanja zadatka navedu tačan izvor, tj. odakle je taj zadatak.