MATEMANIJA

Evo jednog zadatka za koji mi drugar reče pre neki dan, s prijemnog ispita na Mašinskom fakultetu u Beogradu, davne 1976. godine.
Zadatak mi se veoma svideo, jer ne zahteva nikakvo posebno znanje, niti korišćenje glomaznih formula – sasvim je dovoljno gradivo šestog osnovne, ali se zahteva prostorno razmišljanje. Preporučujem, pogotovo maturantima, da ovaj zadatak pokušaju da reše, jer nikad se ne zna, možda nešto slično naiđe i ove godine na prijemnom.
Tačan tekst nemam, ali po nekoj slobodnoj interpretaciji, zadatak glasi ovako:

---

Na stolu su raspoređene četiri identične kuglice poluprečnika [inlmath]R[/inlmath], tako da njihovi centri pripadaju istoj horizontalnoj ravni i predstavljaju temena kvadrata, pri čemu se susedne kuglice dodiruju, kao na sledećoj slici (levo je pogled iskosa, a desno je pogled odozgo:


Sada se na te četiri kuglice postavlja peta ista takva kuglica (pri čemu prethodne četiri kuglice ne menjaju svoj položaj), kao na sledećoj slici:


Potrebno je izračunati na kojoj visini od stola se nalazi centar te pete kuglice.

Rezultat ne bih zasad otkrivao, ali ako bude potrebno, napisaću ga.

lele lele sve se ubuni
moze li ovako
da je to trougao gde je [inlmath]h[/inlmath] kateta , i gde je [inlmath]R[/inlmath] kateta a [inlmath]3R[/inlmath] hipotenuza
i onda je
[dispmath]h=2\sqrt2R[/dispmath]

Nisam siguran gde si uočio taj trougao, ali rešenje koje si napisao nije tačno.

Dobio sam resenje [inlmath]R\left(1+\sqrt3\right)[/inlmath]. Je l dobro ?

Nije.

[inlmath]R\left(\sqrt2+1\right)[/inlmath] ?

To je to, bravo!

E sad ja sam to u glavi crtao sliku. Ono sto sam primetio (tako mi izgleda), Da postoji jedan jednakostranican trougao i jedan pravougli trougao.
Ukupna visina od centra do poda je :[dispmath]H=R+x[/dispmath] Jer posmatramo pravougli trougao sa slike a on pocinje od pola kruga.
Po formuli za visinu jednakostranicnog trougla: [dispmath]h=\frac{2R\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}[/dispmath]
Sad pitagorina teorema:[dispmath]x=\sqrt{3R^2-R^2}=R\sqrt{2}[/dispmath]
I konacno [dispmath]H=R+R\sqrt{2}=R(1+\sqrt{2})[/dispmath]
Nadam se da je to to

Vrlo zanimljivo rešenje!
Ja sam radio na drugačiji način (pa, rekao bih, možda i malo jednostavniji), ali mi se ovaj tvoj način prilično svideo.

OK, da izložim i to svoje rešenje.

Uočimo simetričnost – primetimo da dve naspramne kuglice koje su na stolu (na slici levo obojene zeleno) formiraju zajedno s onom petom kuglicom gore istu strukturu koju formiraju i druge dve naspramne kuglice (na slici levo obojene crveno) zajedno s petom kuglicom.
Prema tome, možemo posmatrati samo strukturu koja se sastoji od dve (npr. zelene) naspramne kuglice zajedno s onom petom koja je na njima (jer se izostavljanjem crvenih kuglica položaj pete kuglice ne menja) – kao na slici desno:


Odredimo rastojanje između centara ove dve zelene kuglice. Posmatramo one prvobitne četiri kuglice, raspoređene u kvadrat:


Odavde je očigledno da rastojanje između centara naspramnih kuglica (na slici obeleženo sa [inlmath]d[/inlmath]) predstavlja dijagonalu kvadrata stranice [inlmath]2R[/inlmath], tako da je [inlmath]d=2R\sqrt2[/inlmath].

I zatim posmatramo prethodno pomenutu strukturu od dve naspramne kuglice na koju smo postavili kuglicu čiju visinu računamo:


Sa slike vidimo da je tražena visina [inlmath]h=R+x[/inlmath], gde je
[dispmath]x=\sqrt{\left(2R\right)^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2}\\
x=\sqrt{4R^2-\left(\frac{\cancel2R\sqrt2}{\cancel2}\right)^2}\\
x=\sqrt{4R^2-2R^2}\\
x=R\sqrt2[/dispmath]
pa je tražena visina centra pete kružnice jednaka
[dispmath]h=R+x\\
h=R+R\sqrt2\\
\enclose{box}{h=R\left(1+\sqrt2\right)}[/dispmath]

---

Na prethodnoj slici smo računskim putem došli do zaključka da je posmatrani pravougli trougao jednakokraki, jer su mu katete jednakih dužina (svaka po [inlmath]R\sqrt2[/inlmath]). Ovo smo mogli zaključiti i bez računanja, ako bismo posmatrali plavo obojene kuglice na levoj i plavo obojene kuglice na desnoj slici:


Zbog simetrije je očigledno da bismo, ako plavu strukturu na levoj slici zarotiramo, dobili plavu strukturu na desnoj slici, tj. te dve strukture su identične (iako različito orijentisane). A pošto centri plavih kuglica na levoj slici formiraju pravougli jednakokraki trougao po uslovu zadatka, samim tim i centri plavih kuglica na desnoj slici formiraju pravougli jednakokraki trougao.
Odatle se odmah može zaključiti, i bez Pitagorine teoreme, da je [inlmath]x=\frac{d}{2}=R\sqrt2[/inlmath].