MATEMANIJA

Pozdrav opet trougao ovaj put pravougli , zadatak glasi:
Na hipotenuzi [inlmath]AB[/inlmath] pravouglog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] date su tacke [inlmath]D[/inlmath] i [inlmath]E[/inlmath] takve da je [inlmath]AD=AC[/inlmath] i [inlmath]BE=BC[/inlmath] Odrediti ugao [inlmath]\delta=\angle DCE[/inlmath].
Zbirka daje resenje preko odnosa ugla i stranice trougla i izvode dve formule [inlmath]\alpha+\beta+\delta=\pi[/inlmath] sto sam uspeo da nadjem iz unutrasnjeg trougla koji se nalazi u datom pravouglom. ALI( uvek ima ali ) sledeca relacija mi nije jasna [inlmath]\alpha+\beta-\delta=\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Naravno tu je i slika


Napomena: Na slici je [inlmath]\alpha=a;\;\beta=b;\;\delta=c[/inlmath] Nisam stigao da nadjem kako da kucam slova grckog alfabeta pa radi lakseg obelezavanja .
Po ovoj slici ja bih zakljucio da je [inlmath]\alpha+\beta+\delta=\frac{\pi}{2}[/inlmath] iz razloga sto je tu prav ugao a podeljen je na ova 3 dela. Zanima me gde gresim i kako da "izvedem" gore pomenutu formulu [inlmath]\alpha+\beta-\delta=\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Napomena: sliku sam nacrtao u odnosu na stranice koje su mi date tako sto sam ugao koji se nalazi naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] obelezio sa [inlmath]\alpha[/inlmath] a ugao naspram stranice [inlmath]BC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]

Hvala na ukazanom vremenu

Dobro, Batonjo, zbog čega mi ne veruješ kad ti već nekoliko puta lepo kažem da nakon tačke, nakon zareza, nakon bilo kog znaka interpunkcije, a pre naredne reči/rečenice ide razmak?
Evo obavezujem se da ću ti kupiti space-taster kad ti se ovaj potroši – ako je u tome problem.
To pravilo nisam ja izmislio, to pravilo odvajkada postoji u pravopisu, i to ne bez razloga – vrlo je nepregledno kad ne ostavljaš prostora između interpunkcije i naredne reči.

OK, idemo na zadatak.

Batonja je napisao:Naravno tu je i slika

I to, vidim, vrlo kilava. Prvo, na toj slici ti uopšte nije ni [inlmath]AD=AC[/inlmath], ni [inlmath]BE=BC[/inlmath], iako je to osnovni uslov zadatka.
Drugo, napravio si pravu papazjaniju s ovim oznakama uglova. Sa [inlmath]a[/inlmath] si na slici označavao više različitih uglova koji međusobno nisu jednaki, što je „big no-no“. Isto si radio i sa [inlmath]b[/inlmath]. Ne može slika tako da se crta.

Evo kol'ko-tol'ko poboljšane slike. Možda ti ona pomogne da uočiš to što ti treba, a ako ne, onda te molim da, na osnovu ove slike, pojasniš to što si hteo reći oko relacija između uglova. (Ono što si pisao ništa nisam uspeo da pohvatam, jer zbog onako konfuzne slike uopšte nije jasno koja se oznaka odnosi na koji ugao.)

Batonja je napisao:Napomena: sliku sam nacrtao u odnosu na stranice koje su mi date tako sto sam ugao koji se nalazi naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] obelezio sa [inlmath]\alpha[/inlmath] a ugao naspram stranice [inlmath]BC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath]

Vrlo pogrešno. Ugao naspram stranice [inlmath]BC[/inlmath] uvek se obeležava sa [inlmath]\alpha[/inlmath], ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] uvek se obeležava sa [inlmath]\beta[/inlmath], a ugao naspram stranice [inlmath]AB[/inlmath] uvek se obeležava sa [inlmath]\gamma[/inlmath].

Resio bez problema, izgleda da me je pogresno nacrtana slika u ovom slucaju kostala zadatka . Dalje sto se tice razmaka obraticu paznju, cuo sam to od jednog druga (da ide razmak posle znakova interpukcije) ali valjda nisam primenjivao, trudim se vec od sada da to primenim kako valja. Sto se tice papazjanije sa oznakama uglova: oznacio sam prvo ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] sa [inlmath]a[/inlmath] i na osnovu uslova da je [inlmath]AC=AD[/inlmath] ugao naspram stranice [inlmath]AD[/inlmath] na svojoj slici obelezio takodje sa [inlmath]a[/inlmath] – naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi ne? Isto to sam i uradio za stranice [inlmath]BE[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], uglove naspram njih obelezio sa [inlmath]b[/inlmath] (primio sam k znanju da se kod temena [inlmath]b[/inlmath] uglavnom stavlja oznaka [inlmath]\beta[/inlmath] trudicu se da postujem u buduce). Ako je i dalje nejasno kako sam obelezavao uglove probaj da nacrtas trougao onako kako sam ga ja nacrtao na prvoj slici i obelezis ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] a ugao naspram [inlmath]BC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath] postavis uslov zadatka [inlmath]AC=AD[/inlmath] i [inlmath]BE=BC[/inlmath] i trebalo bi da se dobije ista slika koju sam gore prilozio . Sad bitniji problem, deo zadatka za koji smatram da me je ukopao je obelezavanje temena pa bih da postavim jos jedno pitanje @Daniel. Interesuje me kako znas koje teme da obelezis kojim slovom tj kako znas da je teme [inlmath]E[/inlmath] "blize temenu [inlmath]A[/inlmath] dok je teme [inlmath]D[/inlmath] "blize" temenu [inlmath]B[/inlmath]? Kada sam tako obelezio trougao bez problema sam nasao gore pomenute relacije. Da li ima neko pravilo obelezavanja tih temena kod trougla generalno? Sto se tice nepravilnih duzina stranica na slici, nacrtao sam je kao skicu a posto mi na prijemnom nije dozvoljeno koriscenje lenjira sve slike koje nacrtam ce predstavljati skice. Potrudicu se da sledeci put kad budem crtao trougao u Illustratoru nacrtam "uverljivije" i prema uslovima zadatka. Hvala na ukazanom vremenu .

Batonja je napisao:Resio bez problema, izgleda da me je pogresno nacrtana slika u ovom slucaju kostala zadatka .

Pa, normalno. Pravilno nacrtana slika je dve trećine urađenog zadatka.

Batonja je napisao:cuo sam to od jednog druga(da ide razmak posle znakova interpukcije) ali valjda nisam primenjivao,

Takođe, razmak ide i pre otvorene zagrade. Dakle, „cuo sam to od jednog druga (da...“
Ispravio sam ti.

Batonja je napisao:Sto se tice papazjanije sa oznakama uglova: oznacio sam prvo ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] sa [inlmath]a[/inlmath] i na osnovu uslova da je [inlmath]AC=AD[/inlmath] ugao naspram stranice [inlmath]AD[/inlmath] na svojoj slici obelezio takodje sa [inlmath]a[/inlmath] – naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi ne?

Pretpostaviću da, kad kažeš „naspram“, govoriš o trouglu [inlmath]\triangle ACD[/inlmath].
Naravno. Iz [inlmath]AC=AD[/inlmath] sledi [inlmath]\angle ACD=\angle ADC=a[/inlmath], ali je problem u tome što si sa [inlmath]a[/inlmath] već obeležio ugao [inlmath]\angle CBA[/inlmath], koji nije jednak nijednom od ova dva ugla. Zatim, sa [inlmath]a[/inlmath] si obeležio i ugao [inlmath]\angle BDC[/inlmath], koji je takođe različit od svih pomenutih.

Batonja je napisao:Isto to sam i uradio za stranice [inlmath]BE[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath], uglove naspram njih obelezio sa [inlmath]b[/inlmath]

Ista primedba kao malopre.

Batonja je napisao:Ako je i dalje nejasno kako sam obelezavao uglove probaj da nacrtas trougao onako kako sam ga ja nacrtao na prvoj slici i obelezis ugao naspram stranice [inlmath]AC[/inlmath] sa [inlmath]\alpha[/inlmath] a ugao naspram [inlmath]BC[/inlmath] sa [inlmath]\beta[/inlmath] postavis uslov zadatka [inlmath]AC=AD[/inlmath] i [inlmath]BE=BC[/inlmath] i trebalo bi da se dobije ista slika koju sam gore prilozio .

Pokušavao sam i tako da označim uglove, međutim, problem je što si ti i međusobno suplementne uglove, [inlmath]\angle ADC[/inlmath] i (već pomenuti) [inlmath]\angle BDC[/inlmath], obeležio istom oznakom [inlmath]a[/inlmath], iz čega bi sledilo da je [inlmath]a+a=180^\circ[/inlmath], tj. da je [inlmath]a[/inlmath] prav ugao, što ne može biti tačno. Isto važi i za uglove [inlmath]\angle BEC[/inlmath] i [inlmath]\angle AEC[/inlmath], koje si označio istom oznakom [inlmath]b[/inlmath].
Dakle, sve su to različiti uglovi i moraju biti obeleženi različitim oznakama.

Batonja je napisao:Sad bitniji problem, deo zadatka za koji smatram da me je ukopao je obelezavanje temena pa bih da postavim jos jedno pitanje @Daniel. Interesuje me kako znas koje teme da obelezis kojim slovom tj kako znas da je teme [inlmath]E[/inlmath] "blize temenu [inlmath]A[/inlmath] dok je teme [inlmath]D[/inlmath] "blize" temenu [inlmath]B[/inlmath]?

Ako lepo nacrtaš skicu, vodeći računa o zadatim jednakostima [inlmath]AD=AC[/inlmath] i [inlmath]BE=BC[/inlmath], videćeš i sam da je međusobni položaj pomenutih tačaka upravo takav.

Moguće je i dokazati da tačka [inlmath]E[/inlmath] mora biti bliža tački [inlmath]A[/inlmath] i da tačka [inlmath]D[/inlmath] mora biti bliža tački [inlmath]B[/inlmath]. Koristimo nejednakost trougla, koja kaže da je bilo koja stranica trougla manja od zbira druge dve. Prema tome, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], mora biti [inlmath]AB<AC+BC[/inlmath]. Pošto je [inlmath]AD=AC[/inlmath] i [inlmath]BE=BC[/inlmath], uvrstimo to u prethodnu nejednakost i dobijemo [inlmath]AB<AD+BE[/inlmath]. Pošto se i duž [inlmath]\overline{AD}[/inlmath] i duž [inlmath]\overline{BE}[/inlmath] nalaze unutar duži [inlmath]\overline{AB}[/inlmath], iz prethodne nejednakosti je jasno da se duži [inlmath]\overline{AD}[/inlmath] i [inlmath]\overline{BE}[/inlmath] moraju međusobno preklapati, tj. da tačka [inlmath]D[/inlmath] mora biti bliža tački [inlmath]B[/inlmath] i da tačka [inlmath]E[/inlmath] mora biti bliža tački [inlmath]A[/inlmath].

Batonja je napisao:Sto se tice nepravilnih duzina stranica na slici, nacrtao sam je kao skicu a posto mi na prijemnom nije dozvoljeno koriscenje lenjira sve slike koje nacrtam ce predstavljati skice.

Poznato mi je da na prijemnom nije dozvoljeno korišćenje lenjira, ali, zaboga, pa zar ti je potreban lenjir da bi približno odmerio [inlmath]AD\approx AC[/inlmath] i [inlmath]BE\approx BC[/inlmath]? Ovo što si ti nacrtao nisu ni približno jednake dužine.

OK, pokazao bih dva postupka rešavanja (posmatrati sliku iz ovog posta).

Prvi postupak bi odgovarao onom ponuđenom u zbirci (ako sam ga dobro razumeo), samo s drugačijim oznakama.

Posmatramo prav ugao [inlmath]\angle ACB[/inlmath]. On se može dobiti tako što saberemo uglove [inlmath]\angle ACD[/inlmath] i [inlmath]\angle BCE[/inlmath], nakon čega oduzmemo ugao [inlmath]\angle DCE[/inlmath] (jer smo njega prilikom sabiranja prethodna dva ugla računali dvaput):
[dispmath]\angle ACB=\angle ACD+\angle BCE-\angle DCE=90^\circ\tag1[/dispmath]
Zatim uočimo da je [inlmath]\angle ACD=\angle EDC[/inlmath] (uglovi pri osnovi jednakokrakog trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath]) i [inlmath]\angle BCE=\angle DEC[/inlmath] (uglovi pri osnovi jednakokrakog trougla [inlmath]\triangle BCE[/inlmath]) pa to uvrstimo u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath],
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
\angle ACD=\angle EDC\\
\angle BCE=\angle DEC
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\angle EDC+\angle DEC-\angle DCE=90^\circ\tag2[/dispmath]
Zbir uglova u svakom trouglu, pa i u trouglu [inlmath]\triangle CDE[/inlmath], mora biti [inlmath]180^\circ[/inlmath]:
[dispmath]\triangle CDE\quad\Rightarrow\quad\angle EDC+\angle DEC+\angle DCE=180^\circ\tag3[/dispmath]
Oduzimanjem jednačine [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] od jednačine [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\left(3\right)-\left(2\right)\quad\Rightarrow\quad2\angle DCE=90^\circ\\
\enclose{box}{\angle DCE=45^\circ}[/dispmath]

---

Drugi postupak:

Isto kao i na početku prethodnog postupka, napišemo ugao [inlmath]\angle ACB[/inlmath] preko uglova [inlmath]\angle ACD[/inlmath], [inlmath]\angle BCE[/inlmath] i [inlmath]\angle DCE[/inlmath]:
[dispmath]\angle ACB=\angle ACD+\angle BCE-\angle DCE=90^\circ\tag1[/dispmath]
Posmatrajući jednakokraki trougao [inlmath]\triangle ACD[/inlmath], izrazimo ugao [inlmath]\angle ACD[/inlmath] preko ugla [inlmath]\alpha[/inlmath]:
[dispmath]\triangle ACD\quad\Rightarrow\quad\alpha+2\angle ACD=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle ACD=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\tag2[/dispmath]
Na isti način, posmatrajući jednakokraki trougao [inlmath]\triangle BCE[/inlmath], izrazimo ugao [inlmath]\angle BCE[/inlmath] preko ugla [inlmath]\beta[/inlmath]:
[dispmath]\triangle BCE\quad\Rightarrow\quad\beta+2\angle BCE=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\angle BCE=90^\circ-\frac{\beta}{2}\tag3[/dispmath]
Uvrstimo [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath],
[dispmath]\Rightarrow\quad90^\circ-\frac{\alpha}{2}+\cancel{90^\circ}-\frac{\beta}{2}-\angle DCE=\cancel{90^\circ}[/dispmath][dispmath]\angle DCE=90^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}\tag4[/dispmath]
Trougao [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] je pravougli, pa zbir njegovih uglova [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] možemo predstaviti na sledeći način:
[dispmath]\triangle ABC\quad\Rightarrow\quad\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha+\beta=90^\circ[/dispmath]
I, uvrštavanjem u [inlmath]\left(4\right)[/inlmath], dobijamo
[dispmath]\Rightarrow\quad\angle DCE=90^\circ-\frac{90^\circ}{2}\\
\enclose{box}{\angle DCE=45^\circ}[/dispmath]