MATEMANIJA

Nisam siguran da li sam prekršio pravilnik ukoliko često molim za pomoć. Ako jesam, izbrišite ovaj post. Imam dva zadatka koja ne mogu da privedem kraju. Jedan od njih je ovaj sa površinom omotača zarubljene piramide. Dat je u zbirci sa PMF-a, izdanje 2016. godine, a njegovo rešenje je:
[dispmath]6\sqrt{119}[/dispmath]
Zadatak glasi ovako:
Visina pravilne zarubljene četvorostrane piramide je [inlmath]3\text{ cm}[/inlmath]. Bočna ivica i dijagonala bočne strane su nagnute prema ravni osnove, redom, pod uglom [inlmath]60^\circ[/inlmath] i [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Izračunati površinu omotača.

Krenuo sam tako što sam nacrtao zarubljenu piramidu [inlmath]ABCDA_1B_1C_1D_1[/inlmath] i uočio trapez [inlmath]ACC_1A_1[/inlmath]. Uzeo sam da bočna ivica [inlmath]CC_1[/inlmath] sa dijagonalom osnove [inlmath]d_1[/inlmath] zaklapa ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Odatle sam izračunao bočnu stranicu i dobio da je:
[dispmath]s=2\sqrt3[/dispmath]
Takođe sam izračunao da je:
[dispmath]a_1-a_2=\sqrt6[/dispmath]
Sledeći korak je bilo računanje visine bočne strane [inlmath]h[/inlmath] pomoću trapeza [inlmath]BCC_1B_1[/inlmath]
Dobio sam da je visina bočne strane:
[dispmath]h=\frac{\sqrt{42}}{2}[/dispmath]
Potrebno je iskoristiti nagib dijagonale bočne strane prema osnovi. Uzeo sam da dijagonala bočne strane i dijagonala osnove zaklapaju ugao [inlmath]30^\circ[/inlmath], pa sam iz jednakokrakog trougla [inlmath]BC_1D[/inlmath] izrazio bočnu dijagonalu [inlmath]d_b[/inlmath] pomoću osnovne ivice [inlmath]a_1[/inlmath], odnosno izračunao sam da je:
[dispmath]d_b=a_1\frac{\sqrt2}{\sqrt3}[/dispmath]
Sledeći moj korak je korišćenje Pitagorine teoreme na trapezu [inlmath]BCC_1B_1[/inlmath].
Pomislio sam da ću odatle dobiti [inlmath]a_1[/inlmath] i rešiti zadatak, ali kvadratna jednačina nema rešenje i znam da sam negde u prethodnim koracima pogrešio, ali ne znam u kom koraku.

boske je napisao:Nisam siguran da li sam prekršio pravilnik ukoliko često molim za pomoć. Ako jesam, izbrišite ovaj post.

Taman posla da brišemo. Sve je u redu, ničim nisi prekršio Pravilnik, baš naprotiv – vrlo si lepo sve napisao i ovaj tvoj post predstavlja primer kako pitanja treba postavljati.

Sve ti je tačno zaključno s ovim korakom,

boske je napisao:Dobio sam da je visina bočne strane:
[dispmath]h=\frac{\sqrt{42}}{2}[/dispmath]

a grešku si napravio ovde:

boske je napisao:Uzeo sam da dijagonala bočne strane i dijagonala osnove zaklapaju ugao [inlmath]30^\circ[/inlmath],

Ne. Dijagonala bočne strane ne zaklapa ugao [inlmath]30^\circ[/inlmath] s dijagonalom osnove, već s ravni osnove. To su različite stvari. Ugao koji zaklapa s ravni osnove zapravo je ugao koji ta dijagonala zaklapa sa svojom projekcijom na ravan osnove. Budući da se jedna krajnja tačka dijagonale već nalazi u ravni osnove (to je tačka [inlmath]B[/inlmath]), projekciju te dijagonale na ravan osnove dobijamo tako što nađemo projekciju one druge njene krajnje tačke (a to je [inlmath]A_1[/inlmath] i njena projekcija na ravan osnove biće [inlmath]A_1'[/inlmath]) pa onda povučemo duž između te dve tačke, [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]A_1'[/inlmath] – i to će biti projekcija te dijagonale na ravan osnove:


Vrlo se lako može uočiti da trougao [inlmath]\triangle A_1A_1'B[/inlmath] predstavlja polovinu jednakostraničnog (jer mu je jedan ugao prav, a drugi mu je [inlmath]30^\circ[/inlmath]), pa pošto znamo jednu njegovu stranicu (to je visina piramide [inlmath]A_1A_1'[/inlmath]), vrlo lako odredimo i dijagonalu bočne strane piramide [inlmath]d_b[/inlmath].

Pretpostavio sam da je negde greška kod računanja dijagonale bočne strane. Nisam znao šta je ugao između bočne stane i ravni osnove. Danas sam naučio nešto novo, a naučiće i drugi čitajući ovaj post. Hvala, Daniel.

Nema na čemu.
I, da se doreknem – kada si koristio podatak da bočna ivica [inlmath]CC_1[/inlmath] zaklapa s ravni osnove ugao od [inlmath]60^\circ[/inlmath], tada si taj ugao ispravno posmatrao kao ugao između bočne ivice [inlmath]CC_1[/inlmath] i dijagonale osnove [inlmath]AC[/inlmath]. To je zbog toga što projekcija bočne ivice [inlmath]CC_1[/inlmath] na ravan osnove zaista pripada dijagonali osnove [inlmath]AC[/inlmath] (jer projekcija krajnje tačke bočne ivice, tačke [inlmath]C_1[/inlmath], pripada dijagonali osnove [inlmath]AC[/inlmath]).
Kao što videsmo, za projekciju dijagonale bočne strane to ne važi.