MATEMANIJA

Visina kupe maksimalne zapremine sa datom izvodnicom [inlmath]s[/inlmath] jednaka je?
[dispmath]V=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi\cdot H[/dispmath]
Poznato nam je [inlmath]s[/inlmath] pa preko [inlmath]s[/inlmath] izrazimo [inlmath]H[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]H^2=s^2-r^2[/dispmath][dispmath]V=\frac{1}{3}\cdot r^2\pi\cdot\sqrt{s^2-r^2}[/dispmath]
Jel ovo uopste dobar pocetak? Kako dalje?

Ok je postupak, preostalo je da nađeš prvi izvod i da izračunaš [inlmath]H[/inlmath].
Ti si izrazio [inlmath]H[/inlmath] preko relacije [inlmath]H^2=s^2-r^2\;\Rightarrow\;V=\frac{1}{3}r^2\pi\sqrt{s^2-r^2}[/inlmath]
S obzirom na to da je [inlmath]s[/inlmath] konstanta iz [inlmath]V_{\text{max}}[/inlmath] ćeš dobiti [inlmath]r[/inlmath] za koje ova kupa ima maksimalnu zapreminu. Dobijenu vrednost [inlmath]r[/inlmath] bi zamenio u [inlmath]H^2=s^2-r^2[/inlmath] i tako bi dobio traženo [inlmath]H[/inlmath].
Ja bih uradio to na malo drugačiji (kraći) način.
[dispmath]r^2=s^2-H^2\;\Rightarrow\;V=\frac{1}{3}\left(s^2-H^2\right)\pi H\\
V=\frac{\pi}{3}\left(Hs^2-H^3\right)\\
V'=s^2-3H^2\\
V'=0\;\Rightarrow\;H^2=\frac{s^2}{3}\\
H=\frac{s\sqrt3}{3}[/dispmath]

A u izvodu samo [inlmath]s[/inlmath] gledam kao konstantu a [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] kao promenljive?

Kao što sam rekao, u ovom zadatku je zadata izvodnica, što implicira da je [inlmath]s[/inlmath] konstanta. [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] su promenljive vrednosti, ali napomena u izvodu nam je potrebna samo jedna promenljiva (sa dve promeljive ne bismo stigli do rešenja).

Herien Wolf je napisao:[dispmath]V=\frac{\pi}{3}\left(Hs^2-H^3\right)\\
V'=s^2-3H^2[/dispmath]

Zapravo, nije [inlmath]V'=s^2-3H^2[/inlmath] već je [inlmath]V'=\frac{\pi}{3}\left(s^2-3H^2\right)[/inlmath]. Tek kad prvi izvod izjednačimo s nulom, tada možemo izostaviti činilac [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] jer je on različit od nule.