MATEMANIJA

Pozdrav svima, treba mi pomoc oko ovog zadatka koji je bio danas na probnom prijemnom na fonu. On glasi :

Maksimalna zapremina prave kupe povrsine [inlmath]P[/inlmath] iznosi :

Jednostavno ne mogu da dobijem dobro resenje, uvek se zapetljam. Posto nam je dato samo [inlmath]P[/inlmath], shvatam da preko toga mora sve da bude izrazeno tako da pokusavam da izrazim i [inlmath]R[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] preko [inlmath]P[/inlmath], ali nekako uvek dobijem opet po dve nepoznate i zaglavim se. Ako moze neko objasni da li negde gresim i kako treba da se uradi.
hvala

u ovom zadatku potrebno je površinu kupe posmatrati kao konstantu, a zadatak se radi preko izvoda
jedino što mi trenutno pada na pamet je da se iz izraza za povšinu kupe [inlmath]P=r\cdot\pi\cdot\left(r+s\right)[/inlmath] izrazi [inlmath]s[/inlmath], a ako znamo da je [inlmath]H^2=s^2-r^2[/inlmath], onda možemo izraziti visinu u funkciji [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath]. Ja bi iz toga što dobijemo izrazio [inlmath]r^2[/inlmath] da se riješim korijena u izvodu i onda to sve uvrstio u izraz za računanje zapremine kupe [inlmath]V=\frac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot H[/inlmath]
[inlmath]r^2[/inlmath] bi trebalo biti
[dispmath]r^2=\frac{P^2}{\pi\cdot\left(H^2\cdot\pi+2\cdot P\right)}[/dispmath]
i onda je zapremina
[dispmath]V=\frac{1}{3}\cdot H\cdot\frac{P^2}{H^2\cdot\pi+2\cdot P}[/dispmath]
dalje treba uraditi prvi izvod po [inlmath]H[/inlmath] i izjednačiti sa nulom pri čemu se [inlmath]P[/inlmath] posmatra kao konstanta. mislim da dalje znaš kako ćeš riješiti ostalo
naravno to sve treba provjeriti da li je dobijena vrijednost maksimum preko drugog izvoda, iako nisam siguran da li uopšte postoji maksimalna zapremina kada se površina fiksira, al kad ovako pogledam izraz koji sam dobio za zapreminu trebalo bi da ima i minimum i maksimum
a nadam se da ima neko lakše rješenje za ovo i da nisam pogriješio nigdje u ovom dijelu što sam napisao

Hvala ti bole.
I ja sam nekako ovako krenuo ali sam se zapetljao, sada mi je jasno.

Iskreno se nadam da postoji laksi nacin kako se ovo resava, jer barem meni oduzima dosta vremena... Dosta ljudi sa kojima sam danas pricao koji su radili probni isto nisu ovaj zadatak uradili.

Moj postupak se "malo" razlikuje od postupka koji je bole predložio
[dispmath]P=r^2\pi+rs\pi\\
\Rightarrow\quad rs\pi=P-r^2\pi\\
s=\frac{P}{r\pi}-r\\
H=\sqrt{s^2-r^2}\\
\Rightarrow\quad H=\sqrt{\left(\frac{P-r^2\pi}{r\pi}\right)^2-r^2}\\
H=\sqrt{\frac{P^2-2Pr^2\pi+r^4\pi^2}{r^2\pi^2}-r^2}\\
H=\sqrt{\frac{P^2-2Pr^2\pi+r^4\pi^2-r^4\pi^2}{r^2\pi^2}}\\
H=\frac{\sqrt{P^2-2Pr^2\pi}}{r\pi}\\
V=\frac{BH}{3}\\
\Rightarrow\quad V=\frac{r^2\pi}{3r\pi}\sqrt{P^2-2Pr^2\pi}\\
V=\frac{r}{3}\sqrt{P^2-2Pr^2\pi}\\
V=\frac{1}{3}\sqrt{r^2P^2-2Pr^4\pi}\\
V'=\frac{P^22r-P\pi8r^3}{6\sqrt{r^2P^2-2Pr^4\pi}}\\
V'=0\\
\Rightarrow\quad P^22r-P\pi8r^3=0\\
2Pr\left(P-4r^2\pi\right)=0\\
r,P\ne0\\
P-4r^2\pi=0\\
P=4r^2\pi\\
r=\frac{\sqrt{P}}{2\sqrt{\pi}}\\
\Rightarrow\quad V=\frac{\sqrt{P}}{6\sqrt{\pi}}\sqrt{P^2-\frac{2P^2\pi}{4\pi}}\\
V=\frac{\sqrt{P}}{6\sqrt{\pi}}\sqrt{P^2-\frac{P^2}{2}}\\
V=\frac{\sqrt{P}}{6\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{P^2}{2}}\\
\Rightarrow\quad V=\frac{P\sqrt{P}}{6\sqrt{2\pi}}[/dispmath]
Voleo bih da vidim kraći postupak naravno ako je moguće

bole je napisao:naravno to sve treba provjeriti da li je dobijena vrijednost maksimum preko drugog izvoda, iako nisam siguran da li uopšte postoji maksimalna zapremina kada se površina fiksira, al kad ovako pogledam izraz koji sam dobio za zapreminu trebalo bi da ima i minimum i maksimum

Pa evo, razmišljaj ovako: Pri konstantnoj površini kupe, kada [inlmath]H[/inlmath] opadne na nulu, tada dobijamo granični slučaj u kojem se kupa „spljošti“ u disk. Površina takvog diska i dalje postoji (jednaka je zbiru površina gornjeg i donjeg kruga tog diska), dok će zapremina biti nula, jer je [inlmath]H=0[/inlmath]. Prema tome, može li zapremina kupe s nekim nenultim [inlmath]H[/inlmath] (i nenultim [inlmath]r[/inlmath], kako ne bismo imali taj drugi granični slučaj) imati minimum? Naravno da ne može, jer bi onda takva zapremina bila manja od nule (koliko iznosi u pomenutom graničnom slučaju). Što znači, da zapremina može dostići jedino maksimum.